餘弦定理計算器

輸入計算

邊長 a

邊長 b

夾角 C（度）

數學公式

Show calculation steps (3)

1. Angle A

   

   A is the angle opposite side a; c is the third side from above

2. Angle B

   

   B is the angle opposite side b; c is the third side from above

3. Triangle Area

   

   Area from two sides and the included angle C

結果

第三邊（c）

6.245

對應夾角 C

角 A	43.9°
角 B	76.1°
角 C	60°
三角形面積	15.1554

什麼是餘弦定理？

餘弦定理描述任意三角形三邊長與其中一角餘弦值之間的關係，可視為畢氏定理的推廣。當夾角為 90° 時，餘弦項等於零，公式便簡化為 \(c^2 = a^2 + b^2\)。因此，當已知兩邊長以及這兩邊的夾角（也就是 SAS，邊角邊的情況）時，餘弦定理就是求解三角形最合適的工具。

一個三角形，邊為 a、b、c，角 C 與邊 c 相對。

如何使用本計算器

輸入兩個已知邊長 a 與 b，以及它們的 夾角 C（即這兩邊之間的角度，以度為單位）。計算器會回傳第三邊 c、其餘兩角 A 與 B，以及三角形的面積。夾角 C 必須介於 0° 與 180° 之間。

公式說明

核心公式為 $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ 再開平方即可得到邊 c。求出三邊長後，只要重新整理同一條定理，即可算出其餘兩角：$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ 三角形面積則使用 SAS 公式：$$\text{Area} = \tfrac{1}{2}ab\sin(C)$$

角 C 位於兩條已知邊 a 和 b 之間。

範例演算

假設 \(a = 5\)、\(b = 7\)、\(C = 60°\)。則 $$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$$ 因此 \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\)。面積為 $$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17.5 \times 0.8660 \approx 15.16$$

常見問題

什麼時候該用餘弦定理而非正弦定理？當題目屬於 SAS（兩邊及其夾角）或 SSS（三邊皆已知）時，請使用餘弦定理；若你掌握的是一個角及其對邊，則應使用正弦定理。

角度要用什麼單位？請以度（degree）輸入角度，計算器會在內部自動換算為弧度。

可以處理鈍角三角形嗎？可以。當角度大於 90° 時，\(\cos(C)\) 為負值，能正確地使邊 c 變得更長。