余弦定理とは？
余弦定理は、任意の三角形において3辺の長さと1つの角の余弦（コサイン）との関係を表す公式です。これはピタゴラスの定理を一般化したもので、挟角が90°のときには余弦の項がゼロになり、公式は \(c^2 = a^2 + b^2\) に簡略化されます。そのため、2辺とその間の角がわかっている場合（いわゆるSAS＝2辺夾角の条件）に三角形を解くための定番ツールとして活躍します。
この計算ツールの使い方
わかっている2辺の長さ a と b、そして2辺の間にある角度である挟角C（単位は度）を入力してください。計算ツールが、残りの1辺 c、残る2つの角 A と B、そして三角形の面積を自動的に求めます。なお、角Cは0°より大きく180°より小さい範囲で入力してください。
公式の解説
基本となる式は次のとおりです。
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$この値の平方根をとると辺 c が求まります。3辺の長さがすべてわかれば、同じ余弦定理を変形して残りの角度を求められます。たとえば次のようになります。
$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$三角形の面積は、2辺夾角の公式で計算できます。
$$\text{面積} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)$$
計算例
たとえば \(a = 5\)、\(b = 7\)、\(C = 60°\) の場合を考えてみましょう。
$$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cdot\cos(60°) = 74 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$$となり、\(c = \sqrt{39} \approx 6.245\) です。面積は次のようになります。
$$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17.5 \times 0.8660 \approx 15.16$$よくある質問（FAQ）
正弦定理ではなく余弦定理を使うべきなのはどんなとき？ SAS（2辺とその挟角）またはSSS（3辺すべて）がわかっている問題では余弦定理を使います。一方、ある角度とその対辺がペアでわかっている場合は正弦定理を使うとよいでしょう。
角度の単位は何ですか？ 角度は「度（°）」で入力してください。計算ツールが内部で自動的にラジアンへ変換します。
鈍角三角形にも対応していますか？ はい、対応しています。90°を超える角度では \(\cos(C)\) が負の値になり、その結果として辺 c が正しく長く計算されます。
