Định lý cosin là gì?
Định lý cosin thiết lập mối liên hệ giữa độ dài ba cạnh của một tam giác bất kỳ với cosin của một trong các góc của nó. Đây là dạng tổng quát của định lý Pythagore: khi góc xen giữa bằng 90°, số hạng chứa cosin triệt tiêu và công thức rút gọn về \(c^2 = a^2 + b^2\). Chính vì vậy, đây là công cụ hữu hiệu để giải tam giác khi bạn biết hai cạnh và góc nằm giữa chúng (trường hợp cạnh – góc – cạnh, hay SAS).
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập độ dài hai cạnh đã biết là a và b, cùng với góc xen giữa C (góc nằm giữa hai cạnh đó, tính bằng độ). Máy tính sẽ trả về cạnh thứ ba c, hai góc còn lại A và B, cùng diện tích tam giác. Lưu ý góc C phải nằm trong khoảng từ 0° đến 180°.
Giải thích công thức
Công thức cốt lõi là
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$Lấy căn bậc hai để được cạnh c. Khi đã biết cả ba cạnh, các góc còn lại được tìm bằng cách biến đổi chính định lý này: \(\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Diện tích tam giác được tính theo công thức SAS:
$$\text{Diện tích} = \tfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin(C)$$
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = 5\), \(b = 7\) và \(C = 60°\). Khi đó
$$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0{,}5) = 74 - 35 = 39$$vậy \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). Diện tích là
$$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17{,}5 \times 0{,}8660 \approx 15{,}16$$Câu hỏi thường gặp
Khi nào nên dùng định lý cosin thay vì định lý sin? Hãy dùng định lý cosin cho các bài toán SAS (hai cạnh và góc xen giữa) hoặc SSS (ba cạnh). Dùng định lý sin khi bạn có một góc cùng với cạnh đối diện của nó.
Góc dùng đơn vị nào? Hãy nhập góc theo đơn vị độ; máy tính sẽ tự động chuyển sang radian khi tính toán.
Có xử lý được tam giác tù không? Có. Với các góc lớn hơn 90°, \(\cos(C)\) mang giá trị âm, điều này khiến cạnh c dài hơn một cách chính xác.
