코사인 법칙이란?
코사인 법칙은 임의의 삼각형에서 세 변의 길이와 한 내각의 코사인 값 사이의 관계를 나타냅니다. 사실 이 법칙은 피타고라스 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있는데, 끼인각이 90°일 때는 코사인 항이 0이 되어 공식이 \(c^2 = a^2 + b^2\) 로 깔끔하게 정리됩니다. 그래서 두 변과 그 사이의 각을 알고 있는 SAS(변-각-변) 상황에서 삼각형을 풀 때 가장 먼저 떠올리게 되는 도구입니다.
계산기 사용법
이미 알고 있는 두 변의 길이 a와 b, 그리고 두 변 사이에 끼인 각 C(단위: 도)를 입력하세요. 그러면 계산기가 나머지 한 변 c와 남은 두 각 A, B, 그리고 삼각형의 넓이를 알려 줍니다. 각 C는 0°와 180° 사이여야 합니다.
공식 자세히 보기
핵심 식은 다음과 같습니다.
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$양변에 제곱근을 취하면 변 c를 구할 수 있습니다. 세 변을 모두 알게 되면, 같은 법칙을 변형해 나머지 각을 구합니다. 예를 들어 \(\cos(A) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 입니다. 삼각형의 넓이는 SAS 공식인 다음 식으로 계산합니다.
$$\text{Area} = \tfrac{1}{2}ab\sin(C)$$
예제 풀이
\(a = 5\), \(b = 7\), \(C = 60°\)라고 해 봅시다. 그러면
$$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70(0.5) = 74 - 35 = 39$$이므로, \(c = \sqrt{39} \approx 6.245\) 입니다. 넓이는
$$\tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 7\cdot\sin(60°) = 17.5 \times 0.8660 \approx 15.16$$입니다.
자주 묻는 질문
사인 법칙 대신 코사인 법칙을 써야 하는 경우는 언제인가요? 두 변과 끼인각을 아는 SAS, 또는 세 변을 모두 아는 SSS 문제에는 코사인 법칙을 사용하세요. 한 각과 그 각의 대변이 짝지어져 있을 때는 사인 법칙을 쓰는 것이 좋습니다.
각의 단위는 무엇인가요? 각은 도(degree) 단위로 입력하세요. 계산기가 내부적으로 라디안으로 변환해 처리합니다.
둔각삼각형도 계산할 수 있나요? 물론입니다. 90°보다 큰 각에서는 \(\cos(C)\)가 음수가 되며, 그 덕분에 변 c가 더 길게 정확히 계산됩니다.
