Что такое теорема косинусов?
Теорема косинусов связывает длины всех трёх сторон произвольного треугольника с косинусом одного из его углов. По сути это обобщение теоремы Пифагора: когда угол между сторонами равен 90°, косинус обращается в ноль и формула превращается в привычное \(c^2 = a^2 + b^2\). Именно поэтому теорема косинусов незаменима, когда известны две стороны и угол между ними (случай «сторона — угол — сторона»).
Как пользоваться калькулятором
Введите две известные стороны — a и b — и угол C между ними (в градусах). Калькулятор сразу выдаст третью сторону c, два оставшихся угла A и B, а также площадь треугольника. Угол C должен находиться в пределах от 0° до 180°.
Разбор формулы
Главное уравнение выглядит так:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$Извлекаем квадратный корень — получаем сторону c. Когда известны все три стороны, оставшиеся углы находятся по той же теореме, переписанной иначе: \(\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\). Площадь удобно вычислить по формуле для случая «сторона — угол — сторона»:
$$S = \tfrac{1}{2}ab\sin(C)$$
Пример решения
Пусть \(a = 5\), \(b = 7\) и \(C = 60°\). Тогда
$$c^2 = 25 + 49 - 2(5)(7)\cos(60°) = 74 - 70 \cdot 0{,}5 = 74 - 35 = 39,$$откуда \(c = \sqrt{39} \approx 6{,}245\). Площадь равна \(\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin(60°) = 17{,}5 \times 0{,}8660 \approx 15{,}16\).
Частые вопросы
Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов? Теорема косинусов подходит для задач типа «сторона — угол — сторона» (две стороны и угол между ними) или «сторона — сторона — сторона» (три стороны). Теорема синусов удобнее, когда у вас есть угол и противолежащая ему сторона.
В каких единицах вводить угол? Вводите угол в градусах — калькулятор сам переведёт его в радианы при расчёте.
Работает ли калькулятор с тупоугольными треугольниками? Да. Для углов больше 90° значение \(\cos(C)\) становится отрицательным, и сторона c корректно получается длиннее.
