Что такое теорема косинусов?
Теорема косинусов связывает длины трёх сторон треугольника с косинусом одного из его углов. По сути это обобщение теоремы Пифагора на любой треугольник (а не только на прямоугольный), и именно она помогает решить треугольник, когда известны либо все три стороны (ССС), либо две стороны и угол между ними (СУС). Для сторон \(a\), \(b\), \(c\), лежащих против углов \(A\), \(B\), \(C\), формула выглядит так:
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A$$
Из неё легко выразить любой угол, зная три стороны.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите, что именно нужно вычислить. В режимах поиска угла (Угол A, B или C) достаточно ввести длины всех трёх сторон \(a\), \(b\) и \(c\) — калькулятор найдёт указанный угол, затем два остальных и выведет полные данные о треугольнике. В режимах поиска стороны (Сторона a, b или c) введите две известные стороны и угол между ними; недостающая сторона рассчитывается по формуле для случая СУС. Укажите единицу измерения угла (градусы или радианы), при желании подпись для единицы длины и число значащих цифр для округления.
Разбор формулы
Чтобы найти угол по трём сторонам, преобразуем теорему косинусов:
$$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$$
Чтобы найти сторону по двум сторонам и углу между ними, используем
$$a = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cdot\cos A}$$
Когда все стороны известны, калькулятор добавляет характеристики треугольника: периметр \(P = a + b + c\), полупериметр \(s = P/2\), площадь по формуле Герона \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), радиус вписанной окружности \(r = K/s\) и радиус описанной окружности \(R = abc/(4K)\).
Пример расчёта
Возьмём треугольник со сторонами 3-4-5:
$$A = \arccos\!\left(\frac{16+25-9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699^\circ$$
$$B = \arccos\!\left(\frac{9+25-16}{30}\right) = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301^\circ$$
$$C = \arccos(0) = 90^\circ$$
В сумме получаем \(180^\circ\) — значит, треугольник прямоугольный. Периметр равен 12, полупериметр 6, площадь 6, радиус вписанной окружности 1, радиус описанной — 2,5.
Частые вопросы
Что делать, если из сторон не получается треугольник? Каждая сторона должна быть меньше суммы двух других (неравенство треугольника). Если это условие нарушается, действительного треугольника не существует, и калькулятор покажет ошибку.
Когда применять теорему косинусов, а когда теорему синусов? Теорема косинусов подходит для случаев ССС и СУС. Теорему синусов удобнее использовать, когда известны два угла и сторона (УУС/УСУ) либо две стороны и угол, не лежащий между ними.
Влияет ли единица длины на величину углов? Нет. Углы зависят только от соотношения сторон, поэтому геометрия не меняется при масштабировании. Единица длины — это просто подпись для отображения.
