Что умеет этот калькулятор
Калькулятор решения треугольников полностью «достраивает» треугольник по одной из шести классических комбинаций исходных данных: AAA (три угла), AAS (два угла и сторона), ASA (два угла и сторона между ними), ASS/SSA (угол и две стороны — неоднозначный случай), SAS (две стороны и угол между ними) и SSS (три стороны). Используются стандартные обозначения: угол A лежит напротив стороны a, угол B — напротив стороны b, угол C — напротив стороны c.
Как пользоваться
В списке «Вычислить:» выберите комбинацию, которая соответствует известным вам данным, и введите три нужных значения. Укажите, в чём заданы углы — в градусах или радианах, при желании выберите единицу длины (это лишь подпись для вывода — все стороны должны быть в одной единице) и задайте число значащих цифр. В результате вы получите все три угла, все три стороны, а также периметр P, полупериметр s, площадь K, радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R.
Разбор формул
Сумма углов треугольника (\(A + B + C = 180°\)) позволяет найти недостающий угол. Теорема синусов,
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$даёт неизвестные стороны, когда известны угол и противолежащая ему сторона. Теорема косинусов,
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$работает в случаях SAS и SSS. Когда все стороны и углы найдены, площадь вычисляется по формуле Герона
$$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$радиус вписанной окружности равен \(r = K/s\), а радиус описанной окружности — \(R = abc/(4K)\).
Пример решения (ASA)
Дано: \(A = 60°\), сторона между углами \(c = 10\), \(B = 50°\). Сначала находим
$$C = 180 - 60 - 50 = 70°$$По теореме синусов
$$a = \frac{10\cdot\sin 60°}{\sin 70°} = 9{,}21595$$$$b = \frac{10\cdot\sin 50°}{\sin 70°} = 8{,}15205$$Далее \(P = 27{,}3680\), \(s = 13{,}6840\), \(K = 35{,}2912\), \(r = 2{,}57902\) и \(R = 5{,}32200\).
Частые вопросы
Почему по AAA нельзя найти длины сторон? Три угла задают только форму треугольника, но не его размер — существует бесконечно много подобных треугольников, поэтому стороны, периметр, площадь и радиусы определить невозможно.
Что такое неоднозначный случай (SSA)? Когда известны угол и две стороны, причём угол не заключён между ними, решений может быть ноль, одно или два. Калькулятор показывает основное решение и предупреждает о невозможных случаях.
Переводит ли он одни единицы длины в другие? Нет — единица длины служит только подписью к результатам. Вводите все стороны в одной и той же единице; площадь выводится в этой единице в квадрате.
