त्रिभुज प्रमेय कैलकुलेटर (AAA, AAS, ASA, ASS/SSA, SAS, SSS)

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गणना करें: AAA - कोण-कोण-कोण AAS - कोण-कोण-भुजा ASA - कोण-भुजा-कोण ASS / SSA - कोण-भुजा-भुजा SAS - भुजा-कोण-भुजा SSS - भुजा-भुजा-भुजा

कोण A

कोण B

कोण C

भुजा a

भुजा b

भुजा c

कोण की इकाइयां डिग्री रेडियन

लंबाई की इकाइयां कोई नहीं किमी मी सेमी मिमी मील गज फुट इंच

सार्थक अंक स्वतः 3 4 5 6 7 8 9

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Law of Cosines

   

   Finds a side from two sides and the included angle, or an angle from three sides.

2. Heron^{\prime}s Area

   

   Area from the three sides using the semi-perimeter s = (a+b+c)/2.

परिणाम

त्रिभुज का हल

A = 60, B = 50, C = 70

angles in deg

भुजा a	9.21605
भुजा b	8.15207
भुजा c	10
परिमाप P	27.3681
अर्ध-परिमाप s	13.6841
क्षेत्रफल K	35.2995
अंतःत्रिज्या r	2.57961
परित्रिज्या R	5.32089

यह कैलकुलेटर क्या करता है

त्रिभुज प्रमेय कैलकुलेटर छह क्लासिक इनपुट संयोजनों में से किसी एक से पूरा त्रिभुज हल कर देता है: AAA (तीनों कोण), AAS (दो कोण और एक भुजा), ASA (दो कोण और उनके बीच की भुजा), ASS/SSA (एक कोण और दो भुजाएं — यानी अस्पष्ट या ambiguous स्थिति), SAS (दो भुजाएं और उनके बीच का कोण), और SSS (तीनों भुजाएं)। यहां मानक त्रिभुज लेबलिंग इस्तेमाल होती है, जहां कोण A भुजा a के सामने होता है, कोण B भुजा b के सामने, और कोण C भुजा c के सामने।

Standard triangle notation: each side is labeled with the lowercase letter opposite its angle.

इसका इस्तेमाल कैसे करें

"Calculate:" ड्रॉपडाउन से वह प्रमेय चुनें जो आपके पास उपलब्ध जानकारी से मेल खाता हो, फिर तीनों संबंधित मान दर्ज करें। तय करें कि आपके कोण डिग्री में हैं या रेडियन में, चाहें तो लंबाई की इकाई भी चुन लें (यह केवल डिस्प्ले लेबल है — सभी भुजाएं एक ही इकाई में होनी चाहिए), और सार्थक अंकों की संख्या सेट करें। परिणाम में तीनों कोण, तीनों भुजाएं, साथ ही परिमाप P, अर्ध-परिमाप s, क्षेत्रफल K, अंतःत्रिज्या r, और परित्रिज्या R दिखाई देती हैं।

सूत्रों की व्याख्या

कोण योग नियम (\(A + B + C = 180\) डिग्री) किसी छूटे हुए कोण को निकाल देता है। ज्या नियम (Law of Sines),

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

तब अज्ञात भुजाएं निकालता है जब कोई कोण और उसके सामने की भुजा ज्ञात हो। कोज्या नियम (Law of Cosines),

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

SAS और SSS को संभालता है। जब सभी भुजाएं और कोण ज्ञात हो जाते हैं, तो हीरोन का सूत्र क्षेत्रफल देता है

$$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

अंतःत्रिज्या \(r = \dfrac{K}{s}\), और परित्रिज्या \(R = \dfrac{abc}{4K}\)।

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The six input cases — given angles and sides are highlighted for each theorem.

हल किया हुआ उदाहरण (ASA)

मान लीजिए \(A = 60^\circ\), बीच की भुजा \(c = 10\), \(B = 50^\circ\): सबसे पहले

$$C = 180 - 60 - 50 = 70^\circ$$

ज्या नियम से,

$$a = \frac{10\cdot\sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} = 9.21595$$$$b = \frac{10\cdot\sin 50^\circ}{\sin 70^\circ} = 8.15205$$

फिर \(P = 27.3680\), \(s = 13.6840\), \(K = 35.2912\), \(r = 2.57902\), और \(R = 5.32200\)।

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ASA setup: two angles and the side between them are known, then the Law of Sines finds the rest.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

AAA से भुजाओं की लंबाई क्यों नहीं मिलती? तीनों कोण सिर्फ त्रिभुज का आकार (shape) तय करते हैं, उसका साइज़ नहीं — ऐसे अनगिनत समरूप (similar) त्रिभुज हो सकते हैं, इसलिए भुजाएं, परिमाप, क्षेत्रफल और त्रिज्याएं तय नहीं हो पातीं।

अस्पष्ट (SSA) स्थिति क्या है? जब आपको एक कोण और दो भुजाएं पता हों, मगर वह कोण उनके बीच का न हो, तो शून्य, एक, या दो वैध त्रिभुज बन सकते हैं। यह टूल मुख्य हल बताता है और असंभव स्थितियों को चिह्नित कर देता है।

क्या यह लंबाई की इकाइयों को आपस में बदलता है? नहीं — लंबाई की इकाई सिर्फ एक लेबल है जो परिणाम के साथ जुड़ जाती है। सभी भुजाएं एक ही इकाई में दर्ज करें; क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में दिखाया जाता है।