यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी समद्विबाहु त्रिभुज को उसकी दो अलग-अलग भुजाओं की लंबाई से हल करता है: बराबर जोड़ी वाली भुजा a (जो भुजा c के भी बराबर होती है) और आधार b। इनसे यह तीसरी भुजा, परिमाप, अर्ध-परिमाप, क्षेत्रफल और तीनों शीर्षलंब निकालकर देता है। यहाँ ज्यामिति का यह नियम मान लिया गया है कि भुजाएँ a और c दोनों बराबर हैं (\(a = c\)), कोण A और C बराबर हैं, और भुजा b असमान आधार है।
इसका उपयोग कैसे करें
भुजा a वाले खाने में एक बराबर भुजा की लंबाई और भुजा b वाले खाने में आधार की लंबाई डालें। चाहें तो एक लंबाई इकाई भी चुन सकते हैं — यह केवल प्रदर्शन के लिए लेबल है और संख्याओं को घटाता-बढ़ाता नहीं, क्योंकि चुनी गई इकाई चाहे जो हो, निकलने वाली लंबाइयाँ हमेशा एक जैसी ही रहती हैं (क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है)। हर परिकलित मान देखने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करें।
सूत्र की व्याख्या
आधार पर खींचा गया शीर्षलंब समद्विबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँट देता है, जिनमें से प्रत्येक का क्षैतिज आधार \(b/2\) और कर्ण \(a\) होता है। इसलिए आधार तक की ऊँचाई \(h_b = \sqrt{a^2 - b^2/4}\) होती है। क्षेत्रफल इस प्रकार निकलता है:
$$K = \tfrac12 \times b \times h_b = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$जो हीरोन के सूत्र के बिल्कुल बराबर है। फिर प्रत्येक शीर्षलंब \(h_x = 2K / x\) होता है, इसलिए \(h_a = h_c = 2K/a\)। परिमाप \(P = 2a + b\) और अर्ध-परिमाप \(s = P/2\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\) और \(b = 6\): तब \(c = 5\), \(P = 2(5) + 6 = 16\), \(s = 8\)। आधार पर शीर्षलंब \(h_b = \sqrt{25 - 9} = 4\) होगा, इसलिए \(K = \tfrac12(6)(4) = 12\)। फिर \(h_a = h_c = 24/5 = 4.8\)। (हीरोन से जाँच: \(\sqrt{8\cdot 3\cdot 2\cdot 3} = \sqrt{144} = 12\)।)
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
त्रिभुज कब अमान्य होता है? इसे त्रिभुज असमिका \(b < 2a\) को पूरा करना ज़रूरी है। यदि \(b = 2a\) हो तो त्रिभुज अपभ्रष्ट (शून्य क्षेत्रफल वाला) हो जाता है, और यदि \(b > 2a\) हो तो ऐसा त्रिभुज बन ही नहीं सकता; इन स्थितियों में कैलकुलेटर त्रुटि बताता है।
दो शीर्षलंब बराबर क्यों होते हैं? क्योंकि भुजाएँ a और c बराबर हैं, इसलिए उन पर खींचे गए शीर्षलंब \(h_a\) और \(h_c\) भी आपस में बराबर होते हैं।
क्या इकाइयों से कोई फ़र्क पड़ता है? नहीं — इकाई बस एक लेबल भर है। cm चुनें या m, संख्याएँ नहीं बदलतीं; लंबाइयाँ आपकी चुनी इकाई में और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में आता है।
