यह कैलकुलेटर क्या करता है
समतल पर दो बिंदु दीजिए — P(x1, y1) और Q(x2, y2) — और यह उनसे गुजरती सरल रेखा का समीकरण ढाल-अंतःखंड रूप यानी \(y = a\cdot x + b\) में बता देता है। साथ ही यह दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी और रेखा का ढाल कोण (झुकाव) भी निकालता है, जिसे आप डिग्री या रेडियन में देख सकते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
दोनों बिंदुओं के निर्देशांक दर्ज करें। तय करें कि आपको ढाल कोण डिग्री में चाहिए (डिफ़ॉल्ट) या रेडियन में। कैलकुलेटर तुरंत ढाल \(a\), y-अंतःखंड \(b\), दूरी PQ और कोण \(\theta\) की गणना कर देता है। निर्देशांक सादे, मात्रकरहित (dimensionless) संख्याएँ हैं, इसलिए दूरी के नतीजे के लिए कोई भी सुसंगत इकाई काम करती है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(dx = x_2 - x_1\) और \(dy = y_2 - y_1\)। ढाल \(a = dy / dx\) होता है (ऊँचाई बनाम चौड़ाई, यानी rise over run)। y-अंतःखंड \(b = (x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2) / (x_2 - x_1)\) होता है, जो \(b = y_1 - a\cdot x_1\) के बराबर ही है। दूरी पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है:
$$d = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$ढाल कोण \(\theta = \arctan(dy / dx)\) होता है, जिसे धनात्मक x-अक्ष से मापा जाता है: धनात्मक कोण का मतलब है रेखा दाईं ओर ऊपर चढ़ती है, और ऋणात्मक कोण का मतलब है वह दाईं ओर नीचे गिरती है।
हल किया हुआ उदाहरण
P(-4, -1) और Q(2, 2) के लिए: \(dx = 6\), \(dy = 3\)। ढाल \(a = 3/6 = 0.5\)। अंतःखंड
$$b = \frac{2\cdot(-1) - (-4)\cdot 2}{6} = \frac{-2 + 8}{6} = 1$$इसलिए रेखा है \(y = 0.5\cdot x + 1\)। दूरी \(= \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \approx 6.7082\)। कोण \(= \arctan(0.5) \approx 0.4636\) रेडियन \(\approx 26.565°\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
ऊर्ध्वाधर (vertical) रेखा होने पर क्या होता है? जब \(x_2 = x_1\) हो, तो रेखा y-अक्ष के समानांतर होती है। इसका ढाल-अंतःखंड रूप अनिश्चित होता है, इसलिए ढाल और अंतःखंड दोनों अनंत (infinity) दिखते हैं; दूरी फिर भी \(|y_2 - y_1|\) के बराबर रहती है और कोण \(\pm 90°\) होता है।
क्षैतिज (horizontal) रेखा का क्या? यदि \(y_2 = y_1\) हो, तो ढाल 0 और कोण 0 होता है, और समीकरण बनता है \(y = b\)।
अगर दोनों बिंदु एक ही हों तो? तब दूरी 0 होती है और रेखा अपरिभाषित रहती है, क्योंकि एक ही बिंदु से अनगिनत रेखाएँ गुजर सकती हैं।
