À quoi sert ce calculateur
Indiquez-lui deux points du plan, P(x1, y1) et Q(x2, y2), et il vous renvoie l'équation de la droite qui les relie, sous sa forme réduite \(y = a\cdot x + b\). Il vous donne également la distance entre les deux points ainsi que l'angle (l'inclinaison) de la droite, que vous pouvez afficher en degrés ou en radians.
Comment l'utiliser
Saisissez les coordonnées des deux points. Choisissez ensuite si vous souhaitez l'angle de la pente en degrés (par défaut) ou en radians. Le calculateur détermine immédiatement le coefficient directeur \(a\), l'ordonnée à l'origine \(b\), la distance \(PQ\) et l'angle thêta. Les coordonnées sont de simples nombres sans dimension : n'importe quelle unité cohérente convient donc pour la distance obtenue.
La formule expliquée
Posons \(dx = x_2 - x_1\) et \(dy = y_2 - y_1\). Le coefficient directeur vaut \(a = dy / dx\) (la variation verticale divisée par la variation horizontale). L'ordonnée à l'origine est \(b = (x_2\cdot y_1 - x_1\cdot y_2) / (x_2 - x_1)\), ce qui revient à \(b = y_1 - a\cdot x_1\). La distance découle du théorème de Pythagore : \(d = \sqrt{dx^2 + dy^2}\). L'angle de la pente est \(\theta = \arctan(dy / dx)\), mesuré à partir du demi-axe positif des \(x\) : un angle positif signifie que la droite monte vers la droite, un angle négatif qu'elle descend vers la droite.
$$y = m\,(x - \text{x}_1) + \text{y}_1 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} m &= \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1} \\[0.4em] d &= \sqrt{(\text{x}_2 - \text{x}_1)^2 + (\text{y}_2 - \text{y}_1)^2} \\[0.4em] \theta &= \frac{180}{\pi}\arctan(m) \end{aligned} \right.$$
Exemple détaillé
Pour P(-4, -1) et Q(2, 2) : \(dx = 6\), \(dy = 3\). Le coefficient directeur vaut \(a = 3/6 = 0{,}5\). L'ordonnée à l'origine est
$$b = \frac{2\cdot(-1) - (-4)\cdot 2}{6} = \frac{-2 + 8}{6} = 1,$$d'où la droite \(y = 0{,}5\cdot x + 1\). Distance \(= \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} \approx 6{,}7082\). Angle \(= \arctan(0{,}5) \approx 0{,}4636 \text{ rad} \approx 26{,}565°\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il pour une droite verticale ? Lorsque \(x_2 = x_1\), la droite est parallèle à l'axe des \(y\). Sa forme réduite n'est plus définie : le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine renvoient donc l'infini. La distance reste égale à \(|y_2 - y_1|\) et l'angle vaut \(\pm 90°\).
Et pour une droite horizontale ? Si \(y_2 = y_1\), le coefficient directeur est nul et l'angle vaut 0, ce qui donne l'équation \(y = b\).
Que se passe-t-il si les deux points sont confondus ? La distance est nulle et la droite n'est pas définie, car une infinité de droites passent par un même point.
