À quoi sert ce calculateur
À partir de deux droites écrites sous leur forme réduite, \(y = a_1 \cdot x + b_1\) et \(y = a_2 \cdot x + b_2\), cet outil détermine leur point d'intersection \(P(x_p, y_p)\) ainsi que l'angle aigu \(\theta\) sous lequel elles se croisent. Il s'agit d'un outil de géométrie purement mathématique, valable dans n'importe quel plan de coordonnées : aucun pays ni système d'unités particulier n'entre donc en jeu.
Comment l'utiliser
Saisissez la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chaque droite. Choisissez ensuite si vous souhaitez obtenir l'angle de croisement en degrés (option par défaut) ou en radians, puis lisez les coordonnées du point d'intersection et la valeur de l'angle dans le panneau des résultats. Si les droites sont parallèles, l'outil indique qu'aucune intersection n'existe ; si elles sont confondues, il signale qu'il s'agit de la même droite.
Les formules expliquées
Deux droites se rencontrent là où leurs ordonnées sont égales : \(a_1 \cdot x + b_1 = a_2 \cdot x + b_2\). En résolvant cette équation pour \(x\), on obtient
$$x_p = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$$puis en reportant cette valeur on trouve
$$y_p = a_1\,x_p + b_1$$L'angle entre les droites découle de la formule de la tangente d'une différence :
$$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{a_2 - a_1}{1 + a_1\,a_2} \right) \right|$$La valeur absolue garantit que l'on obtient bien l'angle aigu (de 0° à 90°). Lorsque \(1 + a_1 \cdot a_2 = 0\), les droites sont perpendiculaires et \(\theta\) vaut exactement 90° (\(\pi/2\) radians).
Exemple détaillé
Prenons \(a_1 = 2\), \(b_1 = 4\), \(a_2 = -2\), \(b_2 = 2\), avec l'angle exprimé en degrés. On a alors
$$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$$puis
$$y_p = 2 \cdot (-0{,}5) + 4 = 3$$L'angle vaut
$$\arctan\!\left( \frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)} \right) = \arctan\!\left( \frac{-4}{-3} \right) = \arctan(1{,}3333) = 0{,}9273 \text{ rad} = 53{,}13°$$FAQ
Que se passe-t-il si les pentes sont égales ? Des pentes égales signifient que les droites sont parallèles et ne se croisent jamais : il n'existe donc aucun point d'intersection. Si les ordonnées à l'origine sont elles aussi égales, les droites sont confondues.
Pourquoi l'angle est-il toujours aigu ? Deux droites qui se croisent forment deux paires d'angles égaux dont la somme vaut 180°. En retenant la valeur aiguë (de 0° à 90°), on obtient une réponse unique et sans ambiguïté.
Comment les droites perpendiculaires sont-elles traitées ? Lorsque \(1 + a_1 \cdot a_2\) est égal à zéro, l'argument de l'arctangente n'est pas défini ; le calculateur renvoie alors exactement 90° (\(\pi/2\)).
