Qu'est-ce que la méthode par élimination ?
La méthode par élimination (aussi appelée méthode par combinaison ou par addition) est une technique de résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues. On multiplie les équations par des coefficients bien choisis afin qu'une variable s'annule lorsqu'on additionne ou soustrait les équations, puis on procède par substitution pour trouver l'autre inconnue. Ce calculateur effectue tous les calculs à votre place : saisissez les six coefficients du système \(a_1 x + b_1 y = c_1\) et \(a_2 x + b_2 y = c_2\), et il vous renvoie les valeurs exactes de x et de y.
Comment utiliser le calculateur
Reportez les coefficients de chaque équation dans les cases correspondantes. La première ligne correspond à l'équation 1 (\(a_1\), \(b_1\), \(c_1\)) et la seconde à l'équation 2 (\(a_2\), \(b_2\), \(c_2\)). Les coefficients peuvent être négatifs ou décimaux. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la solution ainsi que le déterminant \(a_1 b_2 - a_2 b_1\), qui indique s'il existe une solution unique.
La formule expliquée
D'après la règle de Cramer (équivalente à l'élimination), la solution s'écrit $$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$ Le dénominateur commun \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) est le déterminant des coefficients. S'il est nul, les droites sont parallèles : soit il n'existe aucune solution (système incompatible), soit il en existe une infinité (les deux droites sont confondues).
Exemple résolu
Résolvons \(2x + 3y = 12\) et \(x - y = 1\). Ici, \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=12\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Le déterminant vaut $$2(-1) - 1(3) = -5$$ On obtient alors $$x = \frac{12\cdot(-1) - 1\cdot 3}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \qquad y = \frac{2\cdot 1 - 1\cdot 12}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$ La solution est donc \(x = 3\), \(y = 2\).
FAQ
Que se passe-t-il si le déterminant est nul ? Le système n'admet pas de solution unique. Le calculateur vérifie la compatibilité et indique soit « aucune solution » (droites parallèles), soit « une infinité de solutions » (droites confondues).
Puis-je saisir des décimaux ou des fractions ? Les nombres décimaux sont acceptés directement. Convertissez d'abord une fraction en sa valeur décimale (par exemple \(1/2 \to 0{,}5\)).
Est-ce la même chose que la substitution ? Les deux méthodes donnent le même résultat : l'élimination annule une variable en combinant les équations, tandis que la substitution consiste à isoler d'abord une variable.
