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Résultats

Solution

x = 2, y = 3

résolu par substitution

x	2
y	3
Déterminant (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

Qu'est-ce que la méthode par substitution ?

La méthode par substitution est une technique d'algèbre classique pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues. L'idée consiste à isoler une variable dans l'une des équations, puis à reporter cette expression dans la seconde : on se ramène ainsi à une seule équation à une seule inconnue. Ce calculateur effectue automatiquement ces étapes pour le système général $a_1x + b_1y = c_1$ et $a_2x + b_2y = c_2$.

Schéma plat montrant l'isolement d'une variable d'une équation puis sa substitution dans la seconde — La méthode de substitution : résolvez une équation pour une variable, puis remplacez-la dans l'autre.

Comment l'utiliser

Saisissez les six coefficients : $a_1$, $b_1$, $c_1$ pour la première équation et $a_2$, $b_2$, $c_2$ pour la seconde. Cliquez sur « Calculer » : vous obtenez les valeurs exactes de $x$ et $y$, ainsi que le déterminant $a_1b_2 - a_2b_1$ qui indique si le système admet une solution unique.

La formule expliquée

À partir de la première équation, on isole $x = (c_1 - b_1y) / a_1$. En reportant cette expression dans la seconde équation et en simplifiant, on obtient $$y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.$$ Une fois $y$ connu, on remonte le calcul pour trouver $x$. Le dénominateur $a_1b_2 - a_2b_1$ correspond au déterminant de la matrice des coefficients. S'il vaut zéro, les deux droites sont parallèles (aucune solution) ou confondues (une infinité de solutions) : il n'existe alors pas de solution unique.

Exemple résolu

Résolvons $2x + 3y = 13$ et $x - y = -1$. Ici, $a_1=2$, $b_1=3$, $c_1=13$, $a_2=1$, $b_2=-1$, $c_2=-1$. Le déterminant vaut $(2)(-1) - (1)(3) = -5$. On calcule alors $$y = \frac{2\cdot-1 - 1\cdot13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3.$$ En remontant le calcul : $$x = \frac{13 - 3\cdot3}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$ On obtient donc $x = 2$ et $y = 3$.

Deux droites se croisant en un seul point d'intersection sur un repère x-y — La solution est le point où les deux droites se croisent.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si le déterminant est nul ? Le système n'admet pas de solution unique : les droites sont parallèles ou confondues.

Puis-je utiliser des décimales ou des nombres négatifs ? Oui. Tout coefficient réel est accepté, y compris les fractions saisies sous forme décimale.

Obtient-on le même résultat qu'avec l'élimination ou la règle de Cramer ? Oui : pour un système compatible dont le déterminant est non nul, les trois méthodes donnent exactement les mêmes valeurs de $x$ et $y$.

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