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परिणाम

हल

x = 2, y = 3

प्रतिस्थापन विधि से हल किया गया

x	2
y	3
सारणिक (a₁b₂ − a₂b₁)	-5

प्रतिस्थापन विधि क्या है?

प्रतिस्थापन विधि बीजगणित की एक पुरानी और भरोसेमंद तकनीक है, जिससे दो अज्ञात चरों वाले दो रैखिक समीकरणों का निकाय हल किया जाता है। इसमें आप किसी एक समीकरण को एक चर के लिए हल करते हैं और उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में रख देते हैं, जिससे पूरी समस्या एक ही चर वाले एक समीकरण में बदल जाती है। यह कैलकुलेटर सामान्य निकाय $a_1 x + b_1 y = c_1$ और $a_2 x + b_2 y = c_2$ के लिए यह काम अपने आप कर देता है।

समतल आरेख जिसमें एक समीकरण के चर को अलग करके दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया गया है — प्रतिस्थापन विधि: एक समीकरण को किसी चर के लिए हल करें, फिर उसे दूसरे में रखें।

इसका उपयोग कैसे करें

छह गुणांक भरें: पहले समीकरण से $a_1, b_1, c_1$ और दूसरे समीकरण से $a_2, b_2, c_2$। "गणना करें" दबाते ही आपको $x$ और $y$ के सटीक मान मिल जाएंगे, साथ ही सारणिक (determinant) $a_1 b_2 - a_2 b_1$ भी, जो यह पुष्टि करता है कि अद्वितीय हल मौजूद है या नहीं।

सूत्र की व्याख्या

समीकरण 1 से, $x = (c_1 - b_1 y) / a_1$। इसे समीकरण 2 में रखकर और सरल करने पर मिलता है $$y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$ जब $y$ ज्ञात हो जाए, तो उसे वापस रखकर $x$ निकाल लें। हर में मौजूद $a_1 b_2 - a_2 b_1$ गुणांक आव्यूह का सारणिक है। यदि यह शून्य हो, तो दोनों रेखाएं या तो समानांतर हैं (कोई हल नहीं) या एक ही रेखा हैं (अनंत हल), इसलिए कोई अद्वितीय उत्तर नहीं होता।

हल किया हुआ उदाहरण

हल करें $2x + 3y = 13$ और $x - y = -1$। यहाँ $a_1=2, b_1=3, c_1=13, a_2=1, b_2=-1, c_2=-1$ है। सारणिक $$= (2)(-1) - (1)(3) = -5$$ फिर $$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$$ वापस रखने पर: $$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ अतः $x = 2, y = 3$।

x-y निर्देशांक ग्रिड पर एक ही बिंदु पर काटती हुई दो सीधी रेखाएँ — हल वह बिंदु है जहाँ दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अगर सारणिक शून्य हो तो क्या होगा? तब निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता — रेखाएं या तो समानांतर हैं या एक-दूसरे पर अध्यारोपित (संपाती) हैं।

क्या मैं दशमलव या ऋणात्मक संख्याएं डाल सकता हूँ? हाँ। कोई भी वास्तविक गुणांक चलता है, यहाँ तक कि भिन्नों को दशमलव के रूप में भी डाल सकते हैं।

क्या इसका उत्तर विलोपन विधि या क्रैमर के नियम जैसा ही होगा? हाँ — शून्येतर सारणिक वाले संगत निकाय के लिए तीनों विधियाँ $x$ और $y$ के बिल्कुल एक जैसे मान देती हैं।

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