ما هي طريقة التعويض؟
طريقة التعويض من أشهر أساليب الجبر لحل نظام مكوّن من معادلتين خطيتين بمجهولين. تعتمد الفكرة على حل إحدى المعادلتين بدلالة متغير واحد، ثم تعويض هذا المقدار في المعادلة الأخرى، فيتقلّص النظام إلى معادلة واحدة بمجهول واحد يسهل حلها. وتنفّذ هذه الحاسبة هذه الخطوات تلقائيًا للنظام العام: \(a_1 x + b_1 y = c_1\) و \(a_2 x + b_2 y = c_2\).
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الستة: \(a_1\) و \(b_1\) و \(c_1\) من المعادلة الأولى، و \(a_2\) و \(b_2\) و \(c_2\) من المعادلة الثانية. اضغط على زر الحساب لتحصل على القيمتين الدقيقتين لـ \(x\) و \(y\)، إضافةً إلى المحدِّد \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) الذي يؤكّد ما إذا كان هناك حل وحيد للنظام.
شرح القانون
من المعادلة الأولى نحصل على \(x = (c_1 - b_1 y) / a_1\). وبتعويض هذا المقدار في المعادلة الثانية وتبسيطه نصل إلى $$y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$$ وبعد معرفة قيمة \(y\) نعوّضها مجددًا لإيجاد \(x\). أما المقام \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) فهو محدِّد مصفوفة المعاملات. وإذا كان يساوي صفرًا، فهذا يعني أن المستقيمين متوازيان (لا يوجد حل) أو منطبقان (عدد لا نهائي من الحلول)، وبالتالي لا يوجد حل وحيد.
مثال محلول
لنحل النظام \(2x + 3y = 13\) و \(x - y = -1\). هنا \(a_1=2\)، \(b_1=3\)، \(c_1=13\)، \(a_2=1\)، \(b_2=-1\)، \(c_2=-1\). المحدِّد $$= (2)(-1) - (1)(3) = -5$$ ومنه $$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 13}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3$$ وبالتعويض العكسي: $$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ إذًا \(x = 2\) و \(y = 3\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المحدِّد يساوي صفرًا؟ عندها لا يكون للنظام حل وحيد — فالمستقيمان إما متوازيان أو منطبقان.
هل يمكنني استخدام الأعداد العشرية أو السالبة؟ نعم. يقبل النظام أي معامل حقيقي، بما في ذلك الكسور المُدخلة في صورة أعداد عشرية.
هل تعطي النتيجة نفسها مثل طريقة الحذف أو قاعدة كرامر؟ نعم — ففي أي نظام متّسق ذي محدِّد لا يساوي صفرًا تعطي الطرق الثلاث القيم نفسها لـ \(x\) و \(y\).
