ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة نظامًا مكوّنًا من معادلتين خطيتين بمجهولين، يُكتب على الصورة \(a_1 x + b_1 y = c_1\) و\(a_2 x + b_2 y = c_2\). أدخل المعاملات والثوابت الستة، فتُعيد لك قيمتي \(x\) و \(y\)، أو تُنبّهك حين لا يكون للنظام حل وحيد.
طريقة الاستخدام
اكتب المعاملين \(a_1\) و \(b_1\) والثابت \(c_1\) للمعادلة الأولى، ثم \(a_2\) و \(b_2\) و \(c_2\) للمعادلة الثانية، واضغط على زر الحساب. إذا تقاطع الخطّان في نقطة واحدة، تحصل على قيمتي \(x\) و \(y\) بدقة. أمّا إذا كان الخطّان متوازيين (لا حل) أو متطابقين (عدد لا نهائي من الحلول)، فستُخبرك الحاسبة بأنّ المحدِّد يساوي صفرًا وأنه لا يوجد حل واحد.
شرح القانون
تعتمد الطريقة على قاعدة كرامر. نحسب أولًا المحدِّد \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\). فإذا كان \(D \neq 0\) فللنظام حل وحيد يُعطى بـ
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$أمّا إذا كان \(D = 0\) فإن المعادلتين تصفان خطين متوازيين أو متطابقين، ومن ثَمّ لا توجد قيمة وحيدة لـ \((x, y)\).
مثال محلول
لنحلّ \(2x + 3y = 8\) و \(x - y = -1\). هنا \(a_1=2\) و \(b_1=3\) و \(c_1=8\) و \(a_2=1\) و \(b_2=-1\) و \(c_2=-1\). المحدِّد
$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$وبالتالي
$$x = \frac{8 \cdot -1 - (-1) \cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2 \cdot -1 - 1 \cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$إذن \(x = 1\) و \(y = 2\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون المحدِّد صفرًا؟ يعني أن الخطّين متوازيان (لا حل) أو أنهما الخط نفسه (عدد لا نهائي من الحلول). وفي الحالتين لا توجد قيمة واحدة للزوج \((x, y)\).
هل تتعامل مع الكسور العشرية والأرقام السالبة؟ نعم، يقبل كل معامل القيم العشرية والسالبة.
هل هذه هي قاعدة كرامر؟ نعم، فهي تستخدم صيغة المحدِّد \(2\times 2\) من قاعدة كرامر، وهي دقيقة تمامًا للأنظمة الخطية ذات المتغيّرين.
