二元一次聯立方程式計算機

輸入計算

a₁（x 的係數）

b₁（y 的係數）

c₁（常數）

a₂（x 的係數）

b₂（y 的係數）

c₂（常數）

求解聯立方程式：a₁x + b₁y = c₁ 與 a₂x + b₂y = c₂。

結果

解

x = 1
y = 2

唯一解

x	1
y	2
行列式（D = a₁b₂ − a₂b₁）	-5

這個計算機能做什麼

這項工具可求解含兩個未知數的二元一次聯立方程式，形式為 \(a_1x + b_1y = c_1\) 與 \(a_2x + b_2y = c_2\)。只要輸入六個係數與常數，即可算出 \(x\) 與 \(y\) 的值；若聯立方程式沒有唯一解，計算機也會明確告訴你。

二元方程組的解就是兩條直線相交的點。

使用方法

先輸入第一條方程式的係數 \(a_1\)、\(b_1\) 與常數 \(c_1\)，接著輸入第二條方程式的 \(a_2\)、\(b_2\) 與 \(c_2\)，再按下計算。若兩條直線相交於一點，就會得到精確的 \(x\) 與 \(y\) 值。若兩線平行（無解）或完全重合（有無限多組解），計算機會顯示行列式為零，代表沒有唯一答案。

公式說明

本工具採用克拉瑪公式（Cramer's rule）。首先計算行列式 \(D = a_1b_2 - a_2b_1\)。當 \(D \neq 0\) 時，聯立方程式恰好有一組解，分別為

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$

當 \(D = 0\) 時，兩條方程式代表平行或重疊的直線，因此不存在唯一的 \((x, y)\) 解。

範例演算

試解 \(2x + 3y = 8\) 與 \(x - y = -1\)。此時 \(a_1=2\)、\(b_1=3\)、\(c_1=8\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=-1\)。行列式

$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$

接著

$$x = \frac{8 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2 \cdot (-1) - 1 \cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

所以 \(x = 1\)、\(y = 2\)。

三種情況：唯一解、無解（平行）或無窮多解（重合直線）。

常見問題

行列式等於零代表什麼？表示兩條直線平行（無解），或為同一條直線（有無限多組解）。無論哪一種，都不存在唯一的 \((x, y)\) 解。

可以輸入小數或負數嗎？可以，每個係數都接受小數與負數值。

這是克拉瑪公式嗎？是的，本工具採用 \(2 \times 2\) 行列式形式的克拉瑪公式，對二元一次聯立方程式而言能算出精確解。