연립방정식 계산기

계산 입력

a₁ (x의 계수)

b₁ (y의 계수)

c₁ (상수)

a₂ (x의 계수)

b₂ (y의 계수)

c₂ (상수)

a₁x + b₁y = c₁ 과 a₂x + b₂y = c₂ 두 식을 풉니다.

결과

해

x = 1
y = 2

유일한 해

x	1
y	2
행렬식 (D = a₁b₂ − a₂b₁)	-5

이 계산기로 할 수 있는 것

이 도구는 미지수가 두 개인 이원일차 연립방정식, 즉 \(a_1 x + b_1 y = c_1\) 와 \(a_2 x + b_2 y = c_2\) 형태의 식을 풀어 줍니다. 여섯 개의 계수와 상수를 입력하면 x와 y의 값을 계산해 주며, 유일한 해가 없는 경우에는 그 사실을 알려 줍니다.

2변수 연립방정식의 해는 두 직선이 만나는 점입니다.

사용 방법

먼저 첫 번째 식의 계수 \(a_1\), \(b_1\)과 상수 \(c_1\)을 입력하고, 이어서 두 번째 식의 \(a_2\), \(b_2\), \(c_2\)를 입력하세요. 그런 다음 계산 버튼을 누르면 됩니다. 두 직선이 한 점에서 만나면 정확한 x와 y 값이 나옵니다. 두 직선이 평행하거나(해가 없음) 완전히 겹치는 경우(해가 무수히 많음)에는 행렬식이 0이며 유일한 해가 존재하지 않는다고 표시됩니다.

공식 풀이

이 계산은 크라메르 공식(Cramer's rule)을 사용합니다. 먼저 행렬식 \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\) 을 구합니다. \(D \neq 0\) 이면 연립방정식은 단 하나의 해를 가지며, 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$

\(D = 0\) 이면 두 식이 평행하거나 겹치는 직선을 나타내므로 유일한 \((x, y)\) 해가 존재하지 않습니다.

예제 풀이

\(2x + 3y = 8\) 과 \(x - y = -1\) 을 풀어 봅시다. 여기서 \(a_1=2,\ b_1=3,\ c_1=8,\ a_2=1,\ b_2=-1,\ c_2=-1\) 입니다. 행렬식은 다음과 같습니다.

$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$

그러면 다음과 같이 구합니다.

$$x = \frac{8\cdot(-1) - (-1)\cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2\cdot(-1) - 1\cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

따라서 \(x = 1,\ y = 2\) 입니다.

세 가지 경우: 유일한 해, 해 없음(평행), 또는 무수히 많은 해(일치하는 직선).

자주 묻는 질문

행렬식이 0이면 무슨 의미인가요? 두 직선이 평행하거나(해 없음) 동일한 직선(해 무수히 많음)이라는 뜻입니다. 어느 경우든 단 하나의 \((x, y)\) 쌍은 존재하지 않습니다.

소수나 음수도 입력할 수 있나요? 네, 모든 계수에 소수와 음수를 입력할 수 있습니다.

이것이 크라메르 공식인가요? 맞습니다. 이원일차 연립방정식에 대해 정확한 해를 주는 2×2 행렬식 형태의 크라메르 공식을 사용합니다.