이 계산기의 기능
이 도구는 두 미지수 x, y에 대한 두 일차방정식, 즉 \(a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1\) 와 \(a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2\) 형태의 연립방정식을 풀어 줍니다. 계산에는 크라메르 공식(Cramer's rule)을 사용하며, 2×2 행렬에서는 부분 피벗팅을 적용한 LU 분해와 수학적으로 완전히 동일한 결과를 줍니다. 순수 수학 원리이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
두 방정식을 이루는 여섯 개의 실수를 입력하세요. x의 계수(\(a_1, a_2\)), y의 계수(\(b_1, b_2\)), 그리고 우변의 상수항(\(c_1, c_2\))입니다. 계수는 음수, 소수, 0 모두 가능합니다. 계산 버튼을 누르면 x와 y의 유일한 값과 함께, 판별 지표로 쓰이는 행렬식(determinant)을 보여 줍니다.
공식 풀이
먼저 계수행렬의 행렬식을 구합니다: \(D = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1\). 다음으로 각 열을 상수항으로 바꿔 두 개의 행렬식을 추가로 만듭니다: \(D_x = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1\), \(D_y = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1\). 유일한 해는 다음과 같습니다:
$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$만약 \(D = 0\) 이면 유일한 해가 없습니다. 이때 \(D_x\)와 \(D_y\)도 0이면 두 방정식이 같은 직선을 나타내므로 해가 무수히 많고, 그렇지 않으면 두 직선이 평행하면서 서로 다르므로 해가 없습니다.
예제 풀이
\(1 \cdot x + 2 \cdot y = 3\) 과 \(4 \cdot x + 5 \cdot y = 6\) 을 풀어 봅시다. $$D = (1 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = -3, \quad D_x = (3 \cdot 5) - (6 \cdot 2) = 3, \quad D_y = (1 \cdot 6) - (4 \cdot 3) = -6$$ 입니다. 따라서 $$x = \frac{3}{-3} = -1, \qquad y = \frac{-6}{-3} = 2$$ 검산하면 \(1(-1) + 2(2) = 3\), \(4(-1) + 5(2) = 6\) 으로 모두 맞습니다.
자주 묻는 질문
행렬식이 0이면 어떻게 되나요? 단 하나의 (x, y) 쌍이 존재하지 않습니다. 계산기는 "해 없음"(두 직선이 평행) 또는 "해가 무수히 많음"(같은 직선) 중 하나를 알려 줍니다.
계수가 0이어도 되나요? 네. 계수가 0이라는 것은 해당 변수가 그 방정식에 들어 있지 않다는 뜻일 뿐입니다. 행렬식이 0이 아니라면 계산기는 문제없이 해를 구합니다.
소수와 음수도 입력할 수 있나요? 네. 여섯 개의 입력값 모두 일반적인 실수로 처리됩니다.
