ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة نظامًا مكوّنًا من معادلتين خطيتين آنيتين بمجهولَين هما x وy، على الصورة \(a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1\) و \(a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2\). وتعتمد على طريقة كرامر (Cramer)، وهي مكافئة رياضيًا لتحليل LU مع التمحور الجزئي في حالة المصفوفة 2×2. هذه قواعد رياضية بحتة تعمل بالطريقة نفسها في أي مكان وفي أي بلد.
كيفية الاستخدام
أدخل الأعداد الحقيقية الستة التي تُعرّف معادلتيك: معاملات x (وهما \(a_1\) و\(a_2\))، ومعاملات y (وهما \(b_1\) و\(b_2\))، والثوابت في الطرف الأيمن (\(c_1\) و\(c_2\)). يمكن أن تكون المعاملات سالبة أو عشرية أو مساوية للصفر. اضغط على «احسب» للحصول على القيمتين الوحيدتين لـ x وy، إضافةً إلى قيمة المحدِّد كمؤشر تشخيصي.
شرح المعادلة
احسب أولًا محدِّد مصفوفة المعاملات: \(D = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1\). ثم كوّن محدِّدَين إضافيين باستبدال أحد الأعمدة بالثوابت:
$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \text{a}_1\,\text{b}_2 - \text{a}_2\,\text{b}_1 \\ D_x &= \text{c}_1\,\text{b}_2 - \text{c}_2\,\text{b}_1 \\ D_y &= \text{a}_1\,\text{c}_2 - \text{a}_2\,\text{c}_1 \end{aligned} \right.$$\(D_x = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1\) و \(D_y = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1\). والحل الوحيد هو \(x = D_x / D\) و \(y = D_y / D\). أما إذا كان \(D = 0\) فلا يوجد حل وحيد للنظام: فعندما يكون \(D_x\) و\(D_y\) مساويين للصفر أيضًا، تمثّل المعادلتان المستقيم نفسه (عدد لا نهائي من الحلول)؛ وإلا فإن المستقيمَين متوازيان ومختلفان (لا يوجد حل).
مثال محلول
لنحلّ المعادلتين \(1 \cdot x + 2 \cdot y = 3\) و \(4 \cdot x + 5 \cdot y = 6\). عندئذٍ
$$D = (1 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = -3$$ $$D_x = (3 \cdot 5) - (6 \cdot 2) = 3$$ $$D_y = (1 \cdot 6) - (4 \cdot 3) = -6$$ومن ثَمّ \(x = 3 / -3 = -1\) و \(y = -6 / -3 = 2\). وللتحقق: \(1(-1) + 2(2) = 3\) و \(4(-1) + 5(2) = 6\). النتيجة صحيحة.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المحدِّد يساوي صفرًا؟ لا يوجد زوج وحيد (x، y). تُظهر الحاسبة في هذه الحالة إما «لا يوجد حل» (مستقيمان متوازيان) أو «عدد لا نهائي من الحلول» (المستقيم نفسه).
هل يمكن أن يكون المعامل صفرًا؟ نعم. المعامل الصفري يعني ببساطة أن ذلك المتغير غائب عن تلك المعادلة، وتظل الحاسبة تعمل ما دام المحدِّد مختلفًا عن الصفر.
هل تقبل الأعداد العشرية والسالبة؟ نعم، تُعامَل المدخلات الستة جميعها كأعداد حقيقية عادية.
