ماذا تفعل هذه الأداة
تحلّ هذه الأداة نظامًا من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل (\(x\)، \(y\)، \(z\)) باستخدام طريقة حذف غاوس مع المتابعة حتى الوصول إلى الصورة المختزلة المدرّجة بالصفوف (غاوس-جوردان). وهي تعرض الحل الوحيد إذا وُجد، أو تخبرك بما إذا كان النظام غير متّسق (لا يملك حلًّا) أو معتمدًا (يملك عددًا لا نهائيًا من الحلول).
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات التسعة للمصفوفة A والثوابت الثلاثة على الطرف الأيمن b. كل معادلة لها الصيغة \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\). اضغط على زر الحساب لتعرض الأداة الحل إضافةً إلى المصفوفة المختزلة النهائية حتى تتمكّن من متابعة خطوات الحذف.
شرح الطريقة
انطلاقًا من المصفوفة الموسّعة [A | b]، تختار الخوارزمية في كل عمود الصف ذا أكبر محور بالقيمة المطلقة (التمحور الجزئي لضمان الاستقرار العددي)، ثم تُطبِّع صف المحور، وبعدها تحذف العنصر المقابل في كل صف آخر. بعد معالجة الأعمدة الثلاثة تتحوّل كتلة المعاملات إلى مصفوفة الوحدة عند وجود حل وحيد، ويحمل العمود الأخير عندئذٍ القيم (\(x\)، \(y\)، \(z\)). وبمقارنة رتبة A برتبة [A | b] يُصنَّف النظام.
$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$
مثال محلول
لنأخذ المعادلات: \(2x + y - z = 8\)، و\(-3x - y + 2z = -11\)، و\(-2x + y + 2z = -3\). تؤدي عملية الحذف إلى \(x = 2\)، \(y = 3\)، \(z = -1\). ويمكنك التحقق: \(2(2)+3-(-1)=8\)، وهو صحيح.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو لم يوجد حل وحيد؟ ستظهر في لوحة النتائج عبارة «لا يوجد حل» أو «عدد لا نهائي من الحلول»، ويعكس حقل الحالة ذلك.
هل يهمّ ترتيب المعادلات؟ لا. فالتمحور الجزئي يعيد ترتيب الصفوف داخليًا، لذا تبقى النتيجة واحدة بغضّ النظر عن ترتيب الإدخال.
هل يمكن أن تكون المعاملات أعدادًا عشرية أو سالبة؟ نعم، يُسمح بأي أعداد حقيقية.
