ماذا تفعل هذه الحاسبة
يأخذ محلل الدالة التربيعية أي دالة مكتوبة بالصيغة القياسية، f(x) = ax² + bx + c، ويعطيك على الفور صورة كاملة عنها: الرأس، ومحور التماثل، والمميز، والجذور الحقيقية (نقاط تقاطع المحور السيني)، ونقطة تقاطع المحور الصادي. إنها أداة رياضية شاملة تصلح لدراسة القطوع المكافئة في الجبر والتفاضل التمهيدي ومسائل القذائف في الفيزياء ومسائل الأمثلية (تحقيق القيمة العظمى أو الصغرى).
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc. يجب أن يكون المعامل a مخالفًا للصفر حتى تكون الدالة تربيعية فعلًا (فإذا كان \(a = 0\) تصبح المعادلة خطية). اضغط على زر الحساب لتقرأ كل خصائص القطع المكافئ الأساسية في شاشة واحدة.
شرح القوانين
يشترك محور التماثل والرأس في قيمة x نفسها: \(x = -b / (2a)\). عوّض قيمة x هذه في الدالة لتحصل على القيمة الصادية للرأس. أما الجذور فتُستخرج من القانون العام للمعادلة التربيعية،
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$والمقدار الواقع تحت الجذر، أي \(b^{2} - 4ac\)، هو المميز: فإذا كان موجبًا كان للمعادلة جذران حقيقيان، وإذا ساوى الصفر كان لها جذر واحد مكرر، وإذا كان سالبًا فلا توجد جذور حقيقية (لا يقطع القطع المكافئ المحور السيني). أما نقطة تقاطع المحور الصادي فهي ببساطة c، لأن \(f(0) = c\).
مثال محلول
لنأخذ الدالة \(f(x) = x^{2} - 3x + 2\) (حيث \(a = 1\)، \(b = -3\)، \(c = 2\)): محور التماثل \(x = -(-3)/(2\cdot 1) = 1.5\)؛ والقيمة الصادية للرأس \(y = 1.5^{2} - 3(1.5) + 2 = -0.25\)، فيكون الرأس عند (1.5، −0.25). المميز \(= 9 - 8 = 1\)، ومنه الجذران \(x = (3 \pm 1)/2\) وهما 2 و1. ونقطة تقاطع المحور الصادي هي (0، 2).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان a = 0؟ يصبح المقدار خطيًا (bx + c) وله جذر واحد على الأكثر؛ فلا يوجد قطع مكافئ ولا رأس.
ماذا يعني المميز السالب؟ يعني أن القطع المكافئ لا يلامس المحور السيني، أي لا توجد جذور حقيقية — بل جذور عقدية فقط.
هل تساوي قيمة x للرأس دائمًا محور التماثل؟ نعم. محور التماثل هو المستقيم الرأسي المار بالرأس، أي \(x = -b/(2a)\).
