ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
إن الصفر (أو الجذر) للدالة \(f(x)\) هو أي قيمة للمتغير \(x\) تجعل \(f(x) = 0\) — أي النقطة التي يقطع عندها المنحنى المحور السيني. تتيح لك هذه الأداة إيجاد أصفار الدالة التربيعية المكتوبة بصيغتها القياسية \(f(x) = ax^2 + bx + c\). ما عليك سوى إدخال المعاملات \(a\) و\(b\) و\(c\)، فتُرجع لك الحاسبة الجذور الحقيقية أو المركبة إلى جانب قيمة المميز.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة. على سبيل المثال، في الدالة \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) أدخل \(a = 1\) و\(b = -3\) و\(c = 2\). وإذا كانت \(a = 0\) تتحول المعادلة إلى معادلة خطية \((bx + c = 0)\) وتُرجع الحاسبة جذرها الوحيد. أما سطر المميز فيوضح لك ما إذا كانت الجذور حقيقيين مختلفين، أو جذرًا حقيقيًا مكررًا، أو زوجًا مرافقًا من الأعداد المركبة.
شرح القانون
تُحسب الأصفار باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية:
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$والمقدار الواقع تحت الجذر التربيعي، أي \(\Delta = b^2 - 4ac\)، يُسمى المميز. فعندما يكون \(\Delta > 0\) يوجد صفران حقيقيان مختلفان؛ وعندما يكون \(\Delta = 0\) يوجد صفر حقيقي واحد مكرر؛ وعندما يكون \(\Delta < 0\) تكون الجذور مركبة وتُكتب على الصورة \(a \pm bi\).
مثال محلول
لنحل المعادلة \(f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0\). هنا \(a = 1\) و\(b = -3\) و\(c = 2\). المميز يساوي \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\). ومن ثَمّ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ فنحصل على \(x_1 = 2\) و\(x_2 = 1\). وبالفعل يمكن تحليل الدالة إلى \(f(x) = (x - 1)(x - 2)\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون المميز سالبًا؟ يعني أن القطع المكافئ لا يلمس المحور السيني مطلقًا، فلا توجد أصفار حقيقية — وتكون الجذور زوجًا مرافقًا من الأعداد المركبة.
هل يمكن استخدامها مع دالة خطية؟ نعم. اجعل \(a = 0\) فتحل الحاسبة المعادلة \(bx + c = 0\) وتُرجع \(x = -c/b\).
لماذا أحصل أحيانًا على جذر واحد بدلًا من جذرين؟ لأنه عندما يساوي المميز الصفر تمامًا يتطابق الجذران، فيكون للمعادلة التربيعية صفر واحد (مكرر) عند \(x = -b/(2a)\).
