Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bir f(x) fonksiyonunun sıfırı (ya da kökü), f(x) = 0 olan her x değeridir; yani grafiğin x eksenini kestiği noktadır. Bu araç, standart biçimde \(f(x) = ax^2 + bx + c\) olarak yazılan ikinci derece bir fonksiyonun sıfırlarını bulur. a, b ve c katsayılarını girmeniz yeterli; araç reel veya karmaşık kökleri diskriminant değeriyle birlikte size sunar.
Nasıl kullanılır?
Üç katsayıyı yazmanız yeterli. Örneğin \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) için a = 1, b = −3, c = 2 girin. Eğer a = 0 olursa denklem birinci dereceye (\(bx + c = 0\)) dönüşür ve hesaplayıcı tek kökü verir. Diskriminant satırı ise köklerin iki farklı reel kök mü, tek (katlı) reel kök mü, yoksa karmaşık eşlenik bir çift mi olduğunu gösterir.
Formülün açıklaması
Sıfırlar, ikinci derece denklem (diskriminant) formülüyle bulunur:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
Karekökün altındaki ifade olan \(\Delta = b^2 - 4ac\) değerine diskriminant (ayırt edici) denir. \(\Delta > 0\) ise iki farklı reel sıfır vardır; \(\Delta = 0\) ise tek bir katlı reel sıfır bulunur; \(\Delta < 0\) olduğunda ise kökler karmaşıktır ve \(a \pm bi\) biçiminde yazılır.
Çözümlü örnek
\(f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0\) denklemini çözelim. Burada a = 1, b = −3, c = 2'dir. Diskriminant \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\) olur. Buradan $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ elde edilir; yani \(x_1 = 2\) ve \(x_2 = 1\). Gerçekten de \(f(x) = (x - 1)(x - 2)\) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Sıkça sorulan sorular
Diskriminantın negatif olması ne anlama gelir? Parabol x eksenine hiç değmez, dolayısıyla reel sıfırı yoktur; kökler karmaşık eşlenik bir çifttir.
Birinci dereceden bir fonksiyon için kullanabilir miyim? Evet. a = 0 girdiğinizde araç \(bx + c = 0\) denklemini çözer ve \(x = -c/b\) sonucunu verir.
Neden bazen iki yerine tek kök çıkıyor? Diskriminant tam olarak sıfır olduğunda iki kök çakışır; bu durumda ikinci derece denklemin \(x = -b/(2a)\) noktasında tek (katlı) bir sıfırı olur.
