這個計算機能做什麼
函數 f(x) 的零點（又稱根）指的是任何使 f(x) = 0 成立的 x 值，也就是圖形與 x 軸交會的位置。本工具專門求標準式 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) 的二次函數零點。只要輸入係數 a、b、c，就會回傳實根或複數根，並附上判別式的數值。
使用方式
依序填入三個係數即可。舉例來說，若要計算 \(f(x) = x^2 - 3x + 2\)，請輸入 a = 1、b = −3、c = 2。當 a = 0 時，方程式會退化為一次式（\(bx + c = 0\)），此時計算機會回傳唯一的解。判別式那一列則告訴你：方程式是有兩個相異實根、一個重根，還是一組共軛複數根。
公式說明
零點是透過求根公式（二次公式）計算的：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
根號內的部分 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 稱為判別式。當 \(\Delta > 0\) 時，有兩個相異實根；當 \(\Delta = 0\) 時，有一個重根（重複的實根）；當 \(\Delta < 0\) 時，根為複數，寫成 \(a \pm bi\) 的形式。
範例演算
解 \(f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0\)。此時 a = 1、b = −3、c = 2。判別式為 $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1.$$因此 $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},$$得到 \(x_1 = 2\) 與 \(x_2 = 1\)。驗證可知 \(f(x) = (x - 1)(x - 2)\)。
常見問題
判別式為負代表什麼？表示拋物線完全不與 x 軸相交，因此沒有實根，方程式的根是一組共軛複數。
可以用來解一次函數嗎？可以。把 a 設為 0，工具就會改解 \(bx + c = 0\)，並回傳 \(x = -c/b\)。
為什麼有時候只得到一個根，而不是兩個？當判別式剛好等於 0 時，兩個根會合而為一，因此二次方程式只有一個（重複的）零點，位於 \(x = -b/(2a)\)。
