Что делает этот калькулятор
Нуль (или корень) функции f(x) — это любое значение x, при котором f(x) = 0, то есть точка, где график пересекает ось абсцисс (ось x). Этот инструмент находит нули квадратичной функции, записанной в стандартном виде \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Введите коэффициенты a, b и c — и калькулятор вернёт действительные или комплексные корни вместе со значением дискриминанта.
Как пользоваться
Введите три коэффициента. Например, для функции \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) укажите a = 1, b = −3, c = 2. Если a = 0, уравнение становится линейным (\(bx + c = 0\)), и калькулятор вернёт его единственный корень. Строка с дискриминантом подскажет, какие корни получаются: два различных действительных, один кратный действительный или пара комплексно-сопряжённых.
Разбор формулы
Нули находятся по формуле корней квадратного уравнения:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$
Выражение под знаком квадратного корня, \(\Delta = b^2 - 4ac\), называется дискриминантом. Когда \(\Delta > 0\), есть два различных действительных нуля; когда \(\Delta = 0\), есть один кратный действительный нуль; когда \(\Delta < 0\), корни комплексные и записываются в виде \(a \pm bi\).
Пример решения
Решим \(f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0\). Здесь a = 1, b = −3, c = 2. Дискриминант равен \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\). Тогда $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2},$$ откуда \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 1\). И действительно, \(f(x) = (x - 1)(x - 2)\).
Частые вопросы
Что означает отрицательный дискриминант? Парабола не касается оси x, поэтому действительных нулей нет — корни образуют пару комплексно-сопряжённых чисел.
Можно ли использовать калькулятор для линейной функции? Да. Задайте a = 0, и он решит уравнение \(bx + c = 0\), вернув \(x = -c/b\).
Почему иногда получается один корень вместо двух? Когда дискриминант в точности равен нулю, оба корня совпадают, поэтому у квадратного уравнения есть единственный (кратный) нуль в точке \(x = -b/(2a)\).
