Калькулятор анализа квадратичной функции

Введите расчет

a (коэффициент при x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Результатов

Вершина

(1,5, -0,25)

Axis of symmetry: x = 1,5

Ось симметрии	x = 1,5
Дискриминант (b² − 4ac)	1
Число действительных корней	2
Корень 1	x = 2
Корень 2	x = 1
Пересечение с осью Y	(0, 2)

Что считает этот калькулятор

Этот анализатор квадратичной функции берёт любой квадратный трёхчлен в стандартном виде f(x) = ax² + bx + c и мгновенно выдаёт его полную характеристику: вершину параболы, ось симметрии, дискриминант, действительные корни (точки пересечения с осью X) и точку пересечения с осью Y. Это универсальный математический инструмент для парабол в алгебре, в курсе подготовки к высшей математике, в задачах физики о движении тела, брошенного под углом, а также в задачах на оптимизацию.

Ключевые элементы квадратичной функции: вершина, ось симметрии, корни и точка пересечения с осью y.

Как пользоваться

Введите три коэффициента: a, b и c. Коэффициент a должен быть не равен нулю — иначе это уже не квадратное уравнение (при \(a = 0\) уравнение становится линейным). Нажмите «Рассчитать» и получите все ключевые характеристики параболы на одном экране.

Разбор формул

Ось симметрии и вершина имеют одинаковую координату x: $$x = \frac{-b}{2a}$$ Подставьте это значение x обратно в функцию, чтобы найти координату y вершины. Корни находятся по формуле корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Выражение под корнем, \(b^{2} - 4ac\), называется дискриминантом: если он положителен — у уравнения два действительных корня, если равен нулю — один (двукратный) корень, а если отрицателен — действительных корней нет (парабола не пересекает ось X). Точка пересечения с осью Y равна просто c, ведь \(f(0) = c\).

Дискриминант определяет, сколько действительных корней: два, один или ни одного.

Пример с решением

Возьмём \(f(x) = x^{2} - 3x + 2\) (\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)): ось симметрии $$x = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = 1{,}5$$ координата y вершины $$= 1{,}5^{2} - 3 \cdot 1{,}5 + 2 = -0{,}25,$$ то есть вершина находится в точке (1,5; −0,25). Дискриминант \(= 9 - 8 = 1\), откуда корни $$x = \frac{3 \pm 1}{2},$$ то есть 2 и 1. Точка пересечения с осью Y — (0; 2).

Частые вопросы

Что будет, если a = 0? Выражение превращается в линейное (\(bx + c\)) и имеет не более одного корня; ни параболы, ни вершины здесь нет.

Что означает отрицательный дискриминант? Парабола не касается оси X, поэтому действительных корней нет — есть только комплексные.

Координата x вершины всегда совпадает с осью симметрии? Да. Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину: \(x = \frac{-b}{2a}\).