Ce que fait ce calculateur
Cet analyseur de fonction du second degré prend n'importe quel trinôme écrit sous sa forme développée, \(f(x) = ax^2 + bx + c\), et en dresse instantanément le portrait complet : le sommet, l'axe de symétrie, le discriminant, les racines réelles (les abscisses où la parabole coupe l'axe des x) et l'ordonnée à l'origine. C'est un outil mathématique polyvalent, adapté aussi bien à l'algèbre et à l'analyse qu'aux problèmes de trajectoires en physique ou aux questions d'optimisation.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients a, b et c. Le coefficient a doit être non nul pour qu'il s'agisse réellement d'une fonction du second degré (si \(a = 0\), l'équation devient affine). Lancez le calcul et retrouvez en un coup d'œil toutes les caractéristiques de la parabole.
Les formules expliquées
L'axe de symétrie et le sommet partagent la même abscisse : \(x = -b / (2a)\). Il suffit de réinjecter cette valeur de x dans la fonction pour obtenir l'ordonnée du sommet. Les racines s'obtiennent à l'aide de la formule du second degré,
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$La quantité sous la racine, \(b^2 - 4ac\), est le discriminant (souvent noté \(\Delta\)) : s'il est positif, il existe deux racines réelles ; s'il est nul, il y a une racine double ; et s'il est négatif, il n'y a aucune racine réelle (la parabole ne coupe jamais l'axe des x). Quant à l'ordonnée à l'origine, c'est tout simplement \(c\), puisque \(f(0) = c\).
Exemple résolu
Pour \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) (\(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\)) : axe \(x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 1{,}5\) ; ordonnée du sommet
$$y = 1{,}5^2 - 3(1{,}5) + 2 = -0{,}25$$donc le sommet est \((1{,}5\ ;\ -0{,}25)\). Discriminant \(= 9 - 8 = 1\), d'où les racines \(x = (3 \pm 1)/2 = 2\) et \(1\). L'ordonnée à l'origine est \((0\ ;\ 2)\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? L'expression devient affine (\(bx + c\)) et admet au plus une racine ; il n'y a ni parabole ni sommet.
Que signifie un discriminant négatif ? La parabole ne touche pas l'axe des x : il n'y a donc aucune racine réelle, seulement des racines complexes.
L'abscisse du sommet correspond-elle toujours à l'axe de symétrie ? Oui. L'axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet, d'équation \(x = -b/(2a)\).
