Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?
Une équation du second degré est un polynôme de degré 2 de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), où a, b et c sont des constantes et \(a \neq 0\). Sa représentation graphique est une parabole, et ses solutions — appelées racines — correspondent aux valeurs de x pour lesquelles la parabole coupe l'axe des abscisses. Ce calculateur détermine ces racines en un instant, qu'elles soient réelles ou complexes.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les trois coefficients : a (coefficient de x²), b (coefficient de x) et c (terme constant). Le calculateur calcule alors le discriminant et affiche les racines. Si a = 0, l'équation n'est plus du second degré : un message vous invitera à saisir une valeur non nulle.
La formule expliquée
Les racines s'obtiennent grâce à la formule $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ L'expression placée sous la racine carrée, $$\Delta = b^2 - 4ac$$ est appelée discriminant. Lorsque \(\Delta > 0\), l'équation admet deux racines réelles distinctes ; lorsque \(\Delta = 0\), elle admet une racine réelle double ; et lorsque \(\Delta < 0\), les racines sont complexes conjuguées, de la forme \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\).
Exemple détaillé
Résolvons \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Ici, a = 1, b = −3 et c = 2. Le discriminant vaut $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$ On a alors $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ ce qui donne x = 2 et x = 1.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ? L'équation n'admet aucune solution réelle ; elle possède en revanche deux racines complexes, que cet outil affiche sous la forme \(a \pm bi\).
Le coefficient a peut-il être nul ? Non. Si a = 0, l'équation devient linéaire (premier degré) et la formule du discriminant ne s'applique pas.
Que signifie une racine double ? Lorsque \(\Delta = 0\), la parabole effleure l'axe des abscisses en un seul point : les deux racines sont alors identiques.
