ما هي المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية هي كثيرة حدود من الدرجة الثانية تأخذ الصورة \(ax^2 + bx + c = 0\)، حيث a وb وc ثوابت بشرط أن يكون a ≠ 0. يمثّل منحنى هذه المعادلة قطعًا مكافئًا، أما حلولها — وتُسمّى الجذور — فهي قيم x التي يقطع عندها القطع المكافئ المحور السيني. تحسب هذه الأداة تلك الجذور فورًا، سواء كانت حقيقية أو مركّبة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل المعاملات الثلاثة: a (معامل x²)، وb (معامل x)، وc (الحد الثابت). تقوم الحاسبة بإيجاد المميّز ثم تُرجِع الجذور. إذا كان a = 0 فإن المعادلة لا تُعدّ تربيعية، ولذلك سيُطلب منك إدخال قيمة لا تساوي صفرًا.
شرح القانون
تُستخرج الجذور من القانون العام للمعادلة التربيعية
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$أما العبارة الواقعة تحت الجذر التربيعي، \(\Delta = b^2 - 4ac\)، فهي المميّز. فعندما يكون \(\Delta > 0\) يوجد جذران حقيقيان مختلفان؛ وعندما يكون \(\Delta = 0\) يوجد جذر حقيقي وحيد مكرّر؛ وعندما يكون \(\Delta < 0\) يكون الجذران مركّبين مترافقين على الصورة \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\).
مثال محلول
لنحل المعادلة \(x^2 - 3x + 2 = 0\). هنا \(a = 1\)، \(b = -3\)، \(c = 2\). ويكون المميّز \((-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1\). ومنه
$$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$فنحصل على \(x = 2\) و\(x = 1\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المميّز سالبًا؟ عندئذٍ لا توجد حلول حقيقية للمعادلة، بل يكون لها جذران مركّبان تعرضهما هذه الأداة على الصورة \(a \pm bi\).
هل يمكن أن يكون a مساويًا للصفر؟ لا. إذا كان \(a = 0\) تصبح المعادلة خطية وليست تربيعية، ولا يُطبَّق عليها القانون العام.
ماذا يعني الجذر المكرّر؟ عندما يكون \(\Delta = 0\) يلامس القطع المكافئ المحور السيني عند نقطة واحدة فقط، ومن ثمّ يكون الجذران متطابقين.
