ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تعكس حاسبة المعادلة التربيعية من الجذور المسألة المعتادة: فبدلًا من حلّ معادلة تربيعية لإيجاد جذريها، تقوم ببناء المعادلة التربيعية حين تكون الجذور معروفة لديك أصلًا. أدخِل الجذر الأول \(r_1\)، والجذر الثاني \(r_2\)، ومُعاملًا رئيسيًا اختياريًا \(a\)، فتُعيد لك الأداة المعادلة بالصيغة القياسية \(ax^2 + bx + c = 0\) إلى جانب كل معامل من معاملاتها.
كيفية الاستخدام
اكتب الجذرين في الحقلين \(r_1\) و\(r_2\). وإذا كنت تريد ببساطة المعادلة الأحادية (بمعامل رئيسي يساوي 1)، فاترك قيمة \(a\) على 1. أمّا إذا أردت تمديد المنحنى رأسيًا — مثلًا \(a = 2\) لمطابقة تمدّد عمودي معروف — فأدخِل تلك القيمة. اضغط «احسب» لترى المعادلة مكتملة مع قيم \(a\) و\(b\) و\(c\) كلٍّ على حدة.
شرح الصيغة
إذا كان للمعادلة التربيعية جذران \(r_1\) و\(r_2\)، فيمكن كتابتها على هيئة جداء معامل بالعوامل \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\). وبفكّ الأقواس نحصل على
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$وهذا بالضبط ما تنصّ عليه علاقات فييتا: مجموع الجذرين يساوي \(-b/a\)، وجداؤهما يساوي \(c/a\). وعليه فإن \(b = -a(r_1 + r_2)\) و\(c = a \cdot r_1 \cdot r_2\).
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
مثال محلول
افترض أن الجذرين هما 2 و3 مع \(a = 1\). مجموعهما 5 وجداؤهما 6، إذن \(b = -1 \cdot 5 = -5\) و\(c = 1 \cdot 6 = 6\). وبذلك تكون المعادلة \(x^2 - 5x + 6 = 0\). وللتحقق: التحليل يعطي \((x - 2)(x - 3) = 0\)، ما يؤكد صحّة الجذرين.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون الجذران متساويين؟ نعم. إذا كان \(r_1 = r_2\) فإن المعادلة التربيعية لها جذر مكرّر (مزدوج) وتأخذ صيغة مربّع كامل.
ماذا لو أدخلتُ \(a = 0\)؟ المعامل الرئيسي الصفري يجعل المعادلة غير تربيعية، لذا تتعامل معه الحاسبة على أنه 1 للحفاظ على صحّة المعادلة.
هل يمكنني استخدام جذور سالبة أو عشرية؟ بالتأكيد — أي أعداد حقيقية مقبولة، بما في ذلك الأعداد السالبة، والكسور المُدخَلة كأعداد عشرية، والقيم الكبيرة.
