Qué hace esta calculadora
La Calculadora de Ecuación Cuadrática a partir de las Raíces invierte el problema habitual: en lugar de resolver una ecuación cuadrática para hallar sus raíces, reconstruye la ecuación cuando ya conoces las dos raíces. Introduce la primera raíz \(r_1\), la segunda raíz \(r_2\) y, si quieres, un coeficiente principal \(a\), y la herramienta te devuelve la ecuación en forma estándar \(ax^2 + bx + c = 0\) junto con cada uno de sus coeficientes.
Cómo usarla
Escribe tus dos raíces en los campos \(r_1\) y \(r_2\). Si solo necesitas la ecuación mónica (coeficiente principal igual a 1), deja \(a\) en 1. Si quieres escalar la curva —por ejemplo, \(a = 2\) para reflejar un estiramiento vertical conocido—, introduce ese valor. Pulsa calcular para ver la ecuación montada y los valores individuales de \(a\), \(b\) y \(c\).
La fórmula explicada
Si una ecuación cuadrática tiene raíces \(r_1\) y \(r_2\), puede escribirse como el producto factorizado \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\). Al desarrollarlo se obtiene
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$Esto es precisamente la relación de Vieta (las fórmulas de Cardano-Vieta): la suma de las raíces es igual a \(-b/a\) y el producto es igual a \(c/a\). Por tanto, \(b = -a(r_1 + r_2)\) y \(c = a \cdot r_1 \cdot r_2\).
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Supongamos que las raíces son 2 y 3 con \(a = 1\). La suma es 5 y el producto es 6, así que \(b = -1 \cdot 5 = -5\) y \(c = 1 \cdot 6 = 6\). La ecuación es
$$x^{2} - 5x + 6 = 0$$Comprobación: al factorizar obtenemos \((x - 2)(x - 3) = 0\), lo que confirma las raíces.
Preguntas frecuentes
¿Pueden ser iguales las raíces? Sí. Si \(r_1 = r_2\), la ecuación cuadrática tiene una raíz doble (repetida) y adopta la forma de un cuadrado perfecto.
¿Qué pasa si introduzco \(a = 0\)? Un coeficiente principal igual a cero dejaría de ser una ecuación cuadrática, así que la calculadora lo trata como 1 para mantener la ecuación válida.
¿Puedo usar raíces negativas o decimales? Por supuesto: sirve cualquier número real, incluidos los negativos, las fracciones expresadas como decimales y los valores grandes.
