Что делает этот калькулятор
Калькулятор квадратного уравнения по корням решает задачу «наоборот»: вместо того чтобы находить корни уравнения, он составляет само уравнение, когда оба корня уже известны. Введите первый корень \(r_1\), второй корень \(r_2\) и при желании старший коэффициент \(a\) — и инструмент выдаст уравнение в стандартном виде $$a\,x^{2} + b\,x + c = 0$$ вместе с каждым из коэффициентов.
Как пользоваться
Впишите два корня в поля \(r_1\) и \(r_2\). Если вам нужно приведённое уравнение (со старшим коэффициентом, равным 1), оставьте \(a = 1\). Если же кривую нужно растянуть — например, задать \(a = 2\), чтобы учесть известное вертикальное растяжение, — укажите это значение. Нажмите «Рассчитать», и вы увидите готовое уравнение и отдельные значения \(a\), \(b\) и \(c\).
Разбор формулы
Если у квадратного уравнения корни \(r_1\) и \(r_2\), его можно записать в виде произведения множителей $$a(x - r_1)(x - r_2) = 0.$$ Раскрыв скобки, получаем $$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0.$$ Это и есть теорема Виета: сумма корней равна \(-b/a\), а их произведение равно \(c/a\). Отсюда \(b = -a(r_1 + r_2)\) и \(c = a \cdot r_1 \cdot r_2\).
Пример с решением
Пусть корни равны 2 и 3, а \(a = 1\). Сумма равна 5, произведение — 6, поэтому \(b = -1 \cdot 5 = -5\) и \(c = 1 \cdot 6 = 6\). Уравнение получается $$x^{2} - 5x + 6 = 0.$$ Проверим: разложение на множители даёт \((x - 2)(x - 3) = 0\), что подтверждает корни.
Частые вопросы
Могут ли корни совпадать? Да. Если \(r_1 = r_2\), у уравнения есть кратный (двойной) корень, и оно представляет собой полный квадрат.
Что будет, если ввести a = 0? Нулевой старший коэффициент означал бы, что уравнение перестаёт быть квадратным, поэтому калькулятор заменяет его на 1, чтобы уравнение оставалось корректным.
Можно ли вводить отрицательные или дробные корни? Конечно — подойдут любые действительные числа: отрицательные, дроби в виде десятичных значений и большие числа.
