這個計算器能做什麼
一般的二次方程式題目是「給你方程式，求它的根」，而這個「由根求二次方程式計算器」剛好反過來：當你已經知道兩個根時，由它幫你還原出對應的二次方程式。只要輸入第一個根 \(r_1\)、第二個根 \(r_2\)，以及選填的首項係數 \(a\)，工具就會回傳標準式 \(ax^2 + bx + c = 0\)，並一併列出各個係數的值。
使用方式
在 \(r_1\) 與 \(r_2\) 兩個欄位中填入你的兩個根。如果你只想得到首項係數為 1 的「單位二次式（monic）」，就把 \(a\) 保留為 1。如果想把曲線整體縮放——例如配合已知的垂直伸縮設定 \(a = 2\)——直接輸入該數值即可。按下計算，就能看到組合完成的方程式，以及個別的 \(a\)、\(b\)、\(c\) 數值。
公式說明
若一個二次式的兩根為 \(r_1\) 與 \(r_2\)，它就能寫成因式相乘的形式 \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\)。展開後得到
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$這正是韋達定理（Vieta's formulas）所描述的關係：兩根之和等於 \(-b/a\)，兩根之積等於 \(c/a\)。因此 \(b = -a(r_1 + r_2)\)，\(c = a \cdot r_1 \cdot r_2\)。
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
實際範例
假設兩根為 2 與 3，且 \(a = 1\)。兩根之和為 5、兩根之積為 6，所以 \(b = -1 \cdot 5 = -5\)、\(c = 1 \cdot 6 = 6\)。方程式即為
$$x^2 - 5x + 6 = 0$$驗算一下：因式分解得到 \((x - 2)(x - 3) = 0\)，正好印證了這兩個根。
常見問題
兩個根可以相等嗎？可以。當 \(r_1 = r_2\) 時，這個二次式具有重根（雙根），會呈現完全平方的形式。
如果我輸入 \(a = 0\) 會怎樣？首項係數為零就不再是二次式了，因此計算器會把它視為 1，以維持方程式的有效性。
可以使用負數或小數的根嗎？當然可以——任何實數都行，包括負數、以小數形式輸入的分數，以及很大的數值。
