이 계산기의 기능
이 계산기는 일반적인 문제를 거꾸로 풀어 줍니다. 이차방정식을 풀어 근을 구하는 대신, 이미 두 근을 알고 있을 때 그 근을 갖는 이차방정식을 만들어 냅니다. 첫 번째 근 \(r_1\), 두 번째 근 \(r_2\), 그리고 선택 항목인 최고차항 계수 \(a\)를 입력하면, 표준형 \(ax^{2} + bx + c = 0\) 형태의 방정식과 각 계수를 한 번에 보여 줍니다.
사용 방법
두 근을 \(r_1\)과 \(r_2\) 칸에 입력하세요. 최고차항 계수가 1인 일차 계수 방정식(모닉 방정식)을 원한다면 \(a\)를 1로 두면 됩니다. 그래프를 특정 비율로 늘리고 싶다면—예를 들어 이미 알고 있는 세로 방향 확대에 맞추려고 \(a = 2\)로 설정하는 경우—그 값을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 완성된 방정식과 함께 \(a\), \(b\), \(c\) 각각의 값을 확인할 수 있습니다.
공식 설명
이차방정식의 두 근이 \(r_1\)과 \(r_2\)라면, 이 방정식은 인수분해 형태인 \(a(x - r_1)(x - r_2) = 0\)으로 쓸 수 있습니다. 이를 전개하면 다음과 같이 됩니다.
$$\text{a}\,x^{2} - \text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right)x + \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) = 0$$이것이 바로 비에트의 정리(근과 계수의 관계)입니다. 즉, 두 근의 합은 \(-b/a\)와 같고, 두 근의 곱은 \(c/a\)와 같습니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.
$$\begin{gathered} a\,x^{2} + b\,x + c = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{a} \\ b &= -\text{a}\left(\text{r}_1 + \text{r}_2\right) \\ c &= \text{a}\left(\text{r}_1 \cdot \text{r}_2\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
예제 풀이
근이 2와 3이고 \(a = 1\)이라고 가정해 봅시다. 두 근의 합은 5, 곱은 6이므로 \(b = -1 \cdot 5 = -5\), \(c = 1 \cdot 6 = 6\)입니다. 따라서 방정식은 \(x^{2} - 5x + 6 = 0\)이 됩니다. 확인을 위해 인수분해하면 \((x - 2)(x - 3) = 0\)이 되어 두 근이 맞다는 것을 알 수 있습니다.
자주 묻는 질문
두 근이 같아도 되나요? 네, 가능합니다. \(r_1 = r_2\)인 경우 이차방정식은 중근(이중근)을 가지며 완전제곱식 형태가 됩니다.
a = 0을 입력하면 어떻게 되나요? 최고차항 계수가 0이면 이차방정식이 성립하지 않으므로, 계산기는 방정식이 유효하도록 \(a\)를 1로 처리합니다.
음수나 소수 근도 사용할 수 있나요? 물론입니다. 음수, 소수로 입력한 분수, 큰 값을 포함한 모든 실수를 사용할 수 있습니다.
