삼차방정식 계산기란?
이 계산기는 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) 형태의 삼차방정식을 풀어 세 개의 근을 모두 구해 줍니다. 근이 실수든 복소수든 상관없습니다. 카르다노(Cardano) 방법과 삼각함수 풀이(casus irreducibilis)를 함께 사용해 수치적으로 안정적인 결과를 보장합니다.
사용 방법
네 개의 계수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)를 입력하세요. 방정식이 삼차식이 되려면 계수 \(a\)는 반드시 0이 아니어야 합니다. 계산기는 판별식, 실근의 개수, 그리고 각 근의 실수부와 허수부를 알려 줍니다.
공식 풀이
먼저 \(x = t - b/(3a)\)를 대입해 이차항을 없애면, 축소된 삼차방정식 \(t^3 + pt + q = 0\)을 얻습니다. 이때 \(p = (3ac - b^2)/(3a^2)\), \(q = (2b^3 - 9abc + 27a^2 d)/(27a^3)\)입니다. 판별식 $$\Delta = -4p^3 - 27q^2$$ 이 근의 성질을 결정합니다. \(\Delta > 0\)이면 서로 다른 세 개의 실근, \(\Delta = 0\)이면 중근을 포함한 실근, \(\Delta < 0\)이면 하나의 실근과 켤레 복소근 한 쌍이 나옵니다. 모든 근이 실수일 때는 $$t_k = 2\sqrt{-p/3}\cdot\cos\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\!\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-p/3}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$ 공식을 사용합니다.
예제 풀이
\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)의 경우 \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\)입니다. 축소된 삼차방정식에서 \(p = -\tfrac{1}{3}\), \(q = -0.0741\)이 나옵니다. 판별식이 양수이므로 세 개의 실근이 존재하며, 계산기는 이를 1, 2, 3으로 정렬해 보여 줍니다. 이는 정확히 \((x-1)(x-2)(x-3)\)의 인수분해 결과와 일치합니다.
자주 묻는 질문
\(a = 0\)이면 어떻게 되나요? 그러면 삼차방정식이 아닙니다. 이 계산기는 \(a \neq 0\) 조건을 필요로 합니다.
왜 어떤 근은 복소수로 나오나요? 삼차방정식은 복소수 범위에서 항상 세 개의 근을 가집니다. 판별식이 음수일 때는 그중 두 근이 켤레 복소근 쌍을 이룹니다.
근은 어떤 순서로 표시되나요? 일관성을 위해 실근은 오름차순으로 정렬되어 나타납니다.
