Kübik Denklem Çözücü nedir?
Bu araç, \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) biçimindeki her kübik denklemi çözer ve üç kökün tamamını — ister reel ister karmaşık olsun — bulur. Sonuçların sayısal olarak kararlı kalması için Cardano yöntemini, trigonometrik çözümle (casus irreducibilis) birlikte kullanır.
Nasıl kullanılır?
a, b, c ve d katsayılarını girin. Denklemin kübik olabilmesi için a katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Hesaplayıcı; diskriminantı, kaç tane reel kök bulunduğunu ve her kökün reel ile sanal kısımlarını döndürür.
Formülün açıklaması
Önce \(x = t - b/(3a)\) yerine koyarak kareli terimi yok eder ve indirgenmiş kübik denklemi elde ederiz:
$$t^{3} + pt + q = 0$$burada \(p = \dfrac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}\) ve \(q = \dfrac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}\). Köklerin türünü diskriminant
$$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$belirler: \(\Delta > 0\) ise üç farklı reel kök, \(\Delta = 0\) ise katlı reel kökler, \(\Delta < 0\) ise bir reel kök ile bir karmaşık eşlenik çift bulunur. Tüm kökler reel olduğunda şu bağıntıyı kullanırız:
$$t_k = 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}\cdot\cos\!\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\!\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$
Çözümlü örnek
\(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\) denkleminde \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\)'dır. İndirgenmiş kübik için \(p = -\tfrac{1}{3}\) ve \(q = -0{,}0741\) çıkar. Diskriminant pozitif olduğundan üç reel kök elde edilir; hesaplayıcı bunları 1, 2 ve 3 olarak sıralar — tam olarak \((x-1)(x-2)(x-3)\) çarpanlarına ayırmaya karşılık gelir.
Sıkça Sorulan Sorular
a = 0 olursa ne olur? O zaman denklem kübik değildir; bu araç \(a \neq 0\) koşulunu gerektirir.
Bazı kökler neden karmaşık çıkar? Bir kübik denklemin karmaşık sayılar kümesinde her zaman üç kökü vardır; diskriminant negatif olduğunda bunların ikisi bir eşlenik çift oluşturur.
Kökler hangi sırayla listelenir? Tutarlılık için reel kökler küçükten büyüğe doğru sıralanır.
