什么是一元三次方程求解器？
这款工具可以求解任意形如 \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) 的一元三次方程，并找出它的全部三个根——无论这些根是实数还是复数。它结合了卡尔达诺解法与三角函数解法（即"不可约情形"，casus irreducibilis），从而保证计算结果在数值上保持稳定。
如何使用
依次输入四个系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 和 \(d\)。其中系数 \(a\) 必须不为零，方程才是真正的三次方程。求解器会给出判别式、实根的个数，以及每个根的实部与虚部。
公式详解
首先，我们通过代换 \(x = t - b/(3a)\) 消去二次项，得到不含平方项的"降次三次方程" \(t^{3} + pt + q = 0\)，其中
$$p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}, \quad q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}$$判别式
$$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$决定了根的性质：当 \(\Delta > 0\) 时，有三个互不相同的实根；当 \(\Delta = 0\) 时，存在重根（均为实数）；当 \(\Delta < 0\) 时，有一个实根加上一对共轭复根。当三个根全为实数时，我们采用三角函数公式
$$t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\frac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$求解。
实例演示
以方程 \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\) 为例，此时 \(a=1\)，\(b=-6\)，\(c=11\)，\(d=-6\)。降次后得到 \(p = -\frac{1}{3}\)，\(q = -0.0741\)。判别式为正，说明有三个实根。求解器将其排序后得出 \(1\)、\(2\) 和 \(3\)——这正好对应因式分解 \((x-1)(x-2)(x-3)\)。
常见问题
如果 \(a = 0\) 会怎样？那么它就不是三次方程了；本工具要求 \(a \neq 0\)。
为什么有些根是复数？在复数范围内，一元三次方程总是恰好有三个根；当判别式为负时，其中两个根构成一对共轭复数。
根是按什么顺序列出的？为了保持一致，实根会按从小到大的升序排列。
