钻石问题计算器

输入计算

积（P）— 钻石顶部

和（S）— 钻石底部

结果

这两个数是

4  and  3

a + b = 和，a × b = 积

数值 a	4
数值 b	3
判别式（S² − 4P）	1

什么是钻石问题？

钻石问题（Diamond Problem）是欧美数学课堂上常见的代数练习，常用于学习二次三项式的因式分解。一个钻石（菱形）图案的顶部写着积（P），底部写着和（S），你的任务就是找出两侧的两个数 a 和 b，使它们的乘积等于 P、相加等于 S。本计算器可以瞬间帮你解出答案。

经典的菱形布局：上方是积，下方是和，两侧是两个未知数。

使用方法

在对应位置填入积 P（顶部的数）和和 S（底部的数），即可直接得到两个数 a 和 b。工具还会给出判别式的值，方便你判断什么情况下不存在实数解。

公式解析

这两个数其实就是二次方程 \(x^2 - Sx + P = 0\) 的根。根据求根公式：

$$a,\,b = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$$

根号下的表达式 \(\Delta = S^2 - 4P\) 称为判别式。当 \(\Delta \geq 0\) 时，两个数为实数；当 \(\Delta < 0\) 时，则没有实数解（此时两数为复数）。

两侧的数由用 S 和 P 的二次方程求根公式得出，判别式为 S 平方减 4P。

例题演示

假设积为 12，和为 7。那么 \(\Delta = 7^2 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\)，\(\sqrt{1} = 1\)。于是 \(a = (7 + 1)/2 = 4\)，\(b = (7 - 1)/2 = 3\)。验证一下：\(4 \times 3 = 12\)，\(4 + 3 = 7\)，完全吻合。因式分解形式即为 \((x + 3)(x + 4)\)。

常见问题

为什么有时会无解？ 当 \(S^2 < 4P\) 时，判别式为负，找不到能同时满足这两个条件的实数。

这两个数可以是负数或小数吗？ 可以。计算器支持任意实数输入，包括负的乘积以及非整数结果。

a 和 b 可以互换吗？ 可以。因为 \(a+b\) 与 \(a \cdot b\) 都是对称的，谁先谁后并不影响结果。