十字交乘法計算機（菱形問題）

輸入計算

乘積（P）— 菱形上方

總和（S）— 菱形下方

結果

這兩個數字為

4  and  3

a + b = 總和，a × b = 乘積

數值 a	4
數值 b	3
判別式（S² − 4P）	1

什麼是菱形問題（十字交乘法）？

菱形問題是學習因式分解二次三項式時常見的經典代數練習。在一個菱形圖案中，上方放著乘積（P），下方放著總和（S）。你的任務，就是找出菱形兩側的兩個數字 \(a\) 與 \(b\)，讓它們相乘等於 P、相加等於 S。這款計算機能瞬間幫你解開這道謎題。

經典的菱形布局：上方是積，下方是和，兩側是兩個未知數。

使用方法

先輸入乘積 P（上方的數字）與總和 S（下方的數字），即可讀出兩個數字 \(a\) 與 \(b\)。工具同時會顯示判別式，讓你一眼判斷是否存在實數解。

公式說明

這兩個數字其實就是二次方程式 \(x^2 - Sx + P = 0\) 的兩個根。利用一元二次方程式的求根公式：

$$a,\,b = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4P}}{2}$$

根號內的算式 \(\Delta = S^2 - 4P\) 稱為判別式。當 \(\Delta \geq 0\) 時，兩個數字皆為實數；若 \(\Delta < 0\)，則無實數解（這兩個數字會是複數）。

兩側的數由使用 S 和 P 的二次方程式求根公式得出，判別式為 S 平方減 4P。

範例演算

假設乘積為 12、總和為 7。那麼 $$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$$ 而 \(\sqrt{1} = 1\)。於是 \(a = (7 + 1)/2 = 4\)，\(b = (7 - 1)/2 = 3\)。驗證一下：\(4 \times 3 = 12\)，且 \(4 + 3 = 7\)，完全符合。因式分解的結果即為 \((x + 3)(x + 4)\)。

常見問題

為什麼有時候會沒有解？當 \(S^2 < 4P\) 時，判別式為負值，就不存在能同時滿足兩個條件的實數。

數字可以是負數或小數嗎？可以。本計算機支援任何實數輸入，包括負的乘積與非整數的結果。

a 與 b 可以互換嗎？可以。由於 \(a+b\) 與 \(a \cdot b\) 都具有對稱性，順序並不影響結果。