什麼是蒙提霍爾問題？
蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）是一道經典的機率謎題，源自美國電視益智節目《Let's Make a Deal》。遊戲中有好幾道門，你要從中選一道，希望背後藏著一輛汽車，而其他門後面則是山羊。知道每道門後面是什麼的主持人，接著會打開你沒選的門當中、除了一道以外的所有門，露出後面的山羊，再問你要不要改選那道唯一還沒打開的門。違反直覺的是，「換門」竟然能大幅提高你贏得汽車的機率。
計算機怎麼用
輸入遊戲中的門數（經典版本是 3 道門），計算機會立刻顯示兩種情況的中獎機率：維持原本選擇（不換門）的勝率，以及改選那道唯一還沒打開的門（換門）的勝率，並告訴你換門的勝算是不換門的幾倍。
公式解析
當你一開始選門時，汽車剛好在你那道門後面的機率是 \(1/d\)，而且這個機率不會因為後面的過程而改變。接著主持人把其餘的山羊門全部打開、只留下一道，等於把剩下的 \((d-1)/d\) 機率全部「集中」到那唯一一道還沒打開的門上。因此：
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$P(贏｜不換門) = \(1/d\)，而 P(贏｜換門) = \((d-1)/d\)。門數越多，換門的優勢就越壓倒性。
實際範例
以經典的 3 道門遊戲為例：不換門的勝率是 \(1/3 \approx 33.33\%\)，換門的勝率則是 \(2/3 \approx 66.67\%\)——剛好是兩倍。如果換成 100 道門，不換門的勝率只剩 \(1\%\)，換門卻高達 \(99\%\)。
常見問題
為什麼換門不是各 50% 的機率？因為主持人開門不是隨機的——他一定會避開汽車，這個動作等於把機率「轉移」到那道還沒打開的門上。
門數超過 3 道也成立嗎？成立。門數越多，換門的優勢越大，因為不換門永遠維持在 \(1/d\)。
這算是賭博建議嗎？不是，這純粹是標準蒙提霍爾規則下的數學機率——也就是主持人一定會露出山羊、並一定會提供換門機會的前提。
