मोंटी हॉल समस्या क्या है?
मोंटी हॉल समस्या प्रायिकता की एक मशहूर पहेली है, जो अमेरिकी टीवी गेम शो "Let's Make a Deal" पर आधारित है। इसमें आपके सामने कई दरवाज़े होते हैं और आप एक दरवाज़ा चुनते हैं, इस उम्मीद में कि उसके पीछे कार हो; बाकी दरवाज़ों के पीछे बकरियाँ होती हैं। शो का होस्ट, जिसे पता होता है कि किस दरवाज़े के पीछे क्या है, आपके चुने हुए को छोड़कर बाकी सभी दरवाज़ों में से एक के अलावा सब खोल देता है और उन सबके पीछे बकरियाँ दिखा देता है। फिर वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपना चुनाव बदलना चाहेंगे। हैरानी की बात यह है कि चुनाव बदलने (स्विच करने) से आपके जीतने की संभावना बहुत ज़्यादा बढ़ जाती है — हालाँकि सहज रूप से ऐसा नहीं लगता।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
खेल में दरवाज़ों की संख्या दर्ज करें (क्लासिक संस्करण में 3 दरवाज़े होते हैं)। कैलकुलेटर तुरंत बता देगा कि अगर आप अपने पहले चुनाव पर टिके रहते हैं तो जीतने की संभावना कितनी है, और अगर आप बचे हुए बंद दरवाज़े पर स्विच करते हैं तो कितनी — साथ ही यह भी कि स्विच करना जीतने के लिए कितने गुना बेहतर है।
फ़ॉर्मूला समझें
जब आप पहली बार दरवाज़ा चुनते हैं, तो उसके पीछे कार होने की संभावना \(1/d\) होती है। आपके मूल दरवाज़े के लिए यह संभावना कभी नहीं बदलती। इसके बाद होस्ट एक को छोड़कर बाकी सभी बकरी वाले दरवाज़े खोल देता है, जिससे बची हुई \((d-1)/d\) प्रायिकता उस अकेले दूसरे दरवाज़े पर सिमट जाती है। इसलिए:
$$P_{\text{stay}} = \frac{1}{d} \times 100\%, \qquad P_{\text{switch}} = \frac{d-1}{d} \times 100\%$$P(जीत | रुकने पर) = 1/d और P(जीत | स्विच करने पर) = (d−1)/d। जैसे-जैसे दरवाज़ों की संख्या बढ़ती है, स्विच करना और भी ज़्यादा फ़ायदेमंद होता जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
क्लासिक 3-दरवाज़ों वाले खेल में: रुकने पर जीत \(1/3 \approx 33.33\%\) बार होती है, जबकि स्विच करने पर जीत \(2/3 \approx 66.67\%\) बार होती है — यानी ठीक दोगुनी संभावना। अगर 100 दरवाज़े हों, तो रुकने पर जीत सिर्फ़ 1% होगी जबकि स्विच करने पर 99%।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
स्विच करने पर 50/50 का मौका क्यों नहीं मिलता? क्योंकि होस्ट का चुनाव यादृच्छिक (random) नहीं होता — वह हमेशा कार वाले दरवाज़े से बचता है, जिससे प्रायिकता बंद बचे दरवाज़े पर स्थानांतरित हो जाती है।
क्या यह 3 से ज़्यादा दरवाज़ों के साथ भी काम करता है? हाँ। दरवाज़े जितने बढ़ते हैं, स्विच करने का फ़ायदा उतना ही बढ़ता है, क्योंकि रुकने की संभावना हमेशा \(1/d\) ही रहती है।
क्या यह जुए की सलाह है? नहीं — यह पूरी तरह गणितीय प्रायिकता है, जो मानक मोंटी हॉल नियमों पर आधारित है, जहाँ होस्ट हमेशा बकरियाँ दिखाता है और हमेशा स्विच करने का मौका देता है।
