モンティ・ホール問題とは？
モンティ・ホール問題は、アメリカのテレビ番組「Let's Make a Deal（レッツ・メイク・ア・ディール）」をもとにした有名な確率パズルです。複数の扉のうち1つを選び、当たり（車）を狙います。ほかの扉の裏にはヤギ（はずれ）が隠れています。司会者は各扉の中身を知っており、あなたが選ばなかった扉のうち1つを残して、ほかをすべて開けてヤギを見せます。そのうえで「選択を変更しますか？」と尋ねてきます。直感に反するようですが、ここで選択を「変更」すると当たる確率が大きく上がるのです。
この計算機の使い方
ゲームに使う扉の数を入力してください（古典的なバージョンは3枚です）。最初の選択を「そのまま」にした場合と、残った未開封の扉に「変更」した場合の勝率が瞬時に表示され、さらに「変更」が「そのまま」の何倍当たりやすいかもわかります。
計算式の解説
最初に扉を選んだ時点で、その扉の裏に車がある確率は\(1/d\)です。この確率は、あなたが最初に選んだ扉については最後まで変わりません。一方、司会者はヤギの扉を1つだけ残してすべて開けてしまうため、残りの確率\((d-1)/d\)が、もう一方の扉1枚に集約されます。つまり次のようになります。
$$P_{\text{stay}} = \frac{1}{d}, \qquad P_{\text{switch}} = \frac{d-1}{d}$$
扉の数が増えるほど、「変更」が圧倒的に有利になります。
具体例で見る
古典的な3枚の扉のゲームでは、「そのまま」の勝率は\(1/3 \approx 33.33\%\)、「変更」の勝率は\(2/3 \approx 66.67\%\) で、ちょうど2倍の差になります。扉が100枚ある場合、「そのまま」はわずか1%なのに対し、「変更」は99%まで上がります。
よくある質問
なぜ「変更」しても50/50にならないの？ 司会者の選び方がランダムではないからです。司会者は必ず車を避けて扉を開けるため、その確率が未開封の扉に移されるのです。
扉が3枚より多くても成り立つの？ はい。「そのまま」の勝率は常に\(1/d\)のままなので、扉が増えるほど「変更」の優位性は大きくなります。
これはギャンブルのアドバイスですか？ いいえ。これは「司会者が必ずヤギを見せ、必ず変更の機会を与える」という標準的なモンティ・ホールのルールにもとづく、純粋な数学的確率です。
