Что такое парадокс Монти Холла?
Парадокс Монти Холла — это знаменитая задача из теории вероятностей, основанная на американском телешоу «Let's Make a Deal» (его аналогом в России можно считать «Поле чудес» с тремя дверями-секторами). Вы выбираете одну из нескольких дверей в надежде найти за ней автомобиль; за остальными прячутся козы. Ведущий, который точно знает, где что находится, открывает все двери, кроме одной, показывая за ними коз, и предлагает вам поменять свой выбор. Вопреки интуиции, смена двери резко повышает шансы на выигрыш.
Как пользоваться калькулятором
Укажите количество дверей в игре (в классическом варианте их три). Калькулятор сразу покажет вероятность выигрыша, если вы останетесь при первоначальном выборе, и если смените его на единственную оставшуюся закрытую дверь, а также во сколько раз смена выгоднее.
Разбор формулы
Когда вы делаете первый выбор, вероятность того, что машина именно за вашей дверью, равна \(1/d\). Для вашей исходной двери эта вероятность уже не меняется. Затем ведущий убирает все «козьи» двери, кроме одной, и тем самым концентрирует оставшуюся вероятность \((d-1)/d\) на единственной другой двери. Получается:
$$P_{\text{switch}} = \frac{\text{Doors} - 1}{\text{Doors}} \times 100\%, \qquad P_{\text{stay}} = \frac{1}{\text{Doors}} \times 100\%$$P(выигрыш | остаёмся) = 1/d и P(выигрыш | меняем) = (d−1)/d. Чем больше дверей, тем заметнее преимущество смены.
Разбор на примере
В классической игре с тремя дверями: если остаться, выигрыш наступает в \(1/3 \approx 33{,}33\%\) случаев, а если сменить дверь — в \(2/3 \approx 66{,}67\%\) случаев, то есть ровно вдвое чаще. А при 100 дверях остаться — это всего \(1\%\) шансов, тогда как смена двери даёт \(99\%\).
Частые вопросы
Почему смена двери не даёт шансы 50 на 50? Потому что ведущий действует не случайно — он всегда обходит дверь с машиной, и за счёт этого вероятность «перетекает» на оставшуюся закрытую дверь.
Работает ли это при числе дверей больше трёх? Да. Чем больше дверей, тем сильнее преимущество смены, ведь вероятность остаться неизменно равна \(1/d\).
Это совет по азартным играм? Нет — это чистая математическая вероятность при стандартных правилах Монти Холла, где ведущий всегда открывает двери с козами и всегда предлагает поменять выбор.
