Что такое калькулятор вероятности Пуассона?
Распределение Пуассона описывает, сколько раз некоторое событие произойдёт за фиксированный интервал времени, пространства или объёма, если эти события случаются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. Этот калькулятор находит P(X = k) — вероятность наблюдать ровно k событий, а заодно накопленную и хвостовые вероятности. На практике его применяют для оценки звонков в колл-центр, посещений сайта в минуту, числа дефектов в партии, голов за матч или импульсов при радиоактивном распаде.
Как пользоваться калькулятором
Введите среднюю интенсивность λ (ожидаемое число событий за ваш интервал) и целевое количество k (целое неотрицательное число). Калькулятор покажет вероятность ровно k событий, а также четыре связанные вероятности: \(P(X < k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\) и \(P(X > k)\). Следите за тем, чтобы \(\lambda\) и \(k\) относились к одному и тому же интервалу: если переходите с «в час» на «в сутки», обязательно пересчитайте \(\lambda\).
Разбираем формулу
Функция вероятности Пуассона записывается так: $$P(X = k) = \frac{\lambda^{\,k}\; e^{-\lambda}}{k!}$$ где \(e \approx 2{,}71828\) — число Эйлера, а \(k!\) — факториал числа \(k\). Множитель \(\lambda^{k}\) растёт с увеличением числа событий, \(e^{-\lambda}\) играет роль нормирующего убывающего множителя, а деление на \(k!\) учитывает то, что порядок событий неразличим.
Пример с решением
Допустим, в магазин приходит в среднем \(\lambda = 3\) покупателя в час, и нужно узнать вероятность того, что за следующий час придёт ровно \(k = 2\) человека. $$P(X = 2) = \frac{3^{2} \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \times 0{,}049787}{2} = \frac{0{,}448084}{2} = \mathbf{0{,}224042}$$ то есть примерно 22,4%.
Частые вопросы
Что означает λ? Это среднее значение распределения (и одновременно его дисперсия) — ожидаемое число событий за интервал.
Может ли k быть больше λ? Да. \(k\) может быть любым целым неотрицательным числом; вероятность просто становится меньше по мере того, как \(k\) удаляется от \(\lambda\).
Когда уместна модель Пуассона? Когда события независимы, происходят с постоянной средней интенсивностью и два события не могут случиться в один и тот же момент времени.
