Что такое обратная матрица?
Обратная матрица квадратной матрицы A, которая обозначается \(A^{-1}\), — это такая матрица, для которой выполняется равенство \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\), где \(I\) — единичная матрица. Обратная матрица существует только тогда, когда исходная матрица невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Этот калькулятор находит определитель и обратную матрицу для любой матрицы размером 2×2 или 3×3.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите размер матрицы — 2×2 или 3×3, — а затем введите каждый элемент в соответствующую ячейку (\(a_{11}\) — это элемент в левом верхнем углу, \(a_{23}\) — элемент во второй строке и третьем столбце и так далее). Для матрицы 2×2 используются только четыре верхние левые ячейки. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть определитель и, если он не равен нулю, полную обратную матрицу.
Разбор формулы
Обратная матрица вычисляется по формуле
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$Здесь \(\operatorname{adj}(A)\) — присоединённая (союзная) матрица, то есть транспонированная матрица алгебраических дополнений. Каждое алгебраическое дополнение — это минор исходной матрицы со своим знаком. При делении присоединённой матрицы на определитель она масштабируется так, чтобы произведение с \(A\) давало единичную матрицу. Если \(\det A = 0\), деление невозможно, и обратной матрицы не существует — такая матрица называется вырожденной (сингулярной).
Пример с решением
Возьмём матрицу 2×2 \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\). Определитель равен
$$\det A = 4\cdot 6 - 7\cdot 2 = 24 - 14 = 10$$Обратная матрица равна
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}$$Проверить результат можно умножением: произведение даст единичную матрицу.
Частые вопросы
Почему у моей матрицы нет обратной? Её определитель равен нулю. Вырожденные матрицы «сжимают» пространство в меньшую размерность, поэтому такое преобразование нельзя обратить.
Важен ли порядок строк? Да. Элементы \(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\) занимают строго определённые позиции, поэтому вводите значения ровно в том порядке, в каком они стоят в вашей матрице.
Можно ли работать с матрицами большего размера? Этот инструмент поддерживает только матрицы 2×2 и 3×3. Системы большего размера обычно решают методом Гаусса или с помощью программ вроде NumPy.
