역행렬이란?
정사각행렬 A의 역행렬은 \(A^{-1}\)로 표기하며, \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I\) 를 만족하는 행렬입니다. 여기서 I는 단위행렬입니다. 역행렬은 행렬이 정칙(non-singular)일 때, 즉 행렬식이 0이 아닐 때에만 존재합니다. 이 계산기는 2×2 또는 3×3 행렬의 행렬식과 역행렬을 구해 줍니다.
계산기 사용법
먼저 행렬 크기를 2×2 또는 3×3 중에서 선택한 다음, 라벨이 붙은 각 칸에 원소를 입력하세요(a11은 좌측 상단, a23은 2행 3열, 이런 식입니다). 2×2 행렬이라면 좌측 상단 4개 칸만 사용됩니다. 계산 버튼을 누르면 행렬식이 표시되고, 행렬식이 0이 아니라면 완전한 역행렬까지 함께 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
역행렬은 다음과 같이 계산합니다.
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$$수반행렬 adj(A)는 여인수행렬(cofactor matrix)의 전치행렬입니다. 각 여인수는 원래 행렬의 소행렬식(minor)에 부호를 붙인 값입니다. 수반행렬을 행렬식으로 나누면 비율이 조정되어, A와 곱했을 때 단위행렬이 됩니다. 만약 \(\det A = 0\) 이면 나눗셈이 정의되지 않으므로 역행렬이 존재하지 않으며, 이러한 행렬을 특이행렬(singular matrix)이라고 합니다.
$$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{bmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{bmatrix} \quad \text{where} \quad \det A = a_{11}\,a_{22} - a_{12}\,a_{21}$$
예제 풀이
2×2 행렬 \(\begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) 을 살펴봅시다. 행렬식은 다음과 같습니다.
$$\det A = 4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 24 - 14 = 10$$역행렬은 다음과 같이 됩니다.
$$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{bmatrix}$$직접 곱해 보면 결과가 단위행렬이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
왜 제 행렬은 역행렬이 없나요? 행렬식이 0이기 때문입니다. 특이행렬은 공간을 더 낮은 차원으로 보내기 때문에, 그 변환을 되돌릴 수 없습니다.
행(row)의 순서가 중요한가요? 네, 중요합니다. a11, a12, a21, a22는 각각 고정된 위치를 차지하므로, 행렬에 나타난 그대로 값을 입력해야 합니다.
더 큰 행렬도 계산할 수 있나요? 이 도구는 2×2와 3×3만 지원합니다. 더 큰 연립방정식은 보통 가우스 소거법이나 NumPy 같은 소프트웨어로 풉니다.
