시그마 합계 계산기란?
합계 계산기는 시그마 표기법으로 작성된 식을 계산해 주는 도구입니다. 시그마 표기법은 여러 항을 차례로 더하는 과정을 간결하게 나타내는 수학 기호로, 그리스 대문자 Σ로 표시합니다. 이 기호는 아래끝 a부터 위끝 b까지 (양 끝 포함) 모든 정수 i에 대해 함수 f(i)의 값을 더하라는 뜻입니다. 이 계산기는 가장 자주 쓰이는 함수들, 즉 \(f(i) = i\), \(i^2\), \(i^3\), \(\frac{1}{i}\)(조화급수), 그리고 상수 \(1\)을 지원합니다.
사용 방법
먼저 더하고 싶은 함수 \(f(i)\)를 고른 다음, 아래끝(\(a\))과 위끝(\(b\))을 입력하세요. 계산기는 \(i = a\)부터 \(i = b\)까지 한 단계씩 반복하면서 각 단계의 \(f(i)\) 값을 구하고, 그 결과를 모두 더합니다. 또한 더해진 항의 개수도 함께 보여 주므로, 범위가 올바른지 한눈에 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
시그마 표기법은 다음과 같이 펼쳐집니다.
$$\sum_{i=a}^{b} f(i) = f(a) + f(a+1) + \dots + f(b)$$예를 들어 \(\sum_{i=1}^{4} i\)는 \(1 + 2 + 3 + 4\)를 뜻합니다. 많은 합에는 깔끔한 닫힌 형식(공식)이 있습니다. \(1\)부터 \(n\)까지 자연수의 합은 \(\frac{n(n+1)}{2}\)이고, 제곱의 합은 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)입니다. 다만 이 계산기는 음수로 시작하는 경우를 포함해 어떤 정수 범위에서도 작동합니다.
예제로 살펴보기
\(\sum_{i=1}^{5} i^2\)를 구한다고 가정해 봅시다. 각 항을 계산하면
$$1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$가 됩니다. 닫힌 형식으로 확인해도 결과는 같습니다.
$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$이 합에는 모두 5개의 항이 들어 있습니다.
자주 묻는 질문
시그마 표기법에서 i는 무슨 뜻인가요? i는 합의 지표(인덱스)로, 아래끝부터 위끝까지 1씩 증가하는 카운터 역할을 합니다.
아래끝이 위끝보다 클 수도 있나요? 관례상 \(a > b\)인 경우는 빈 합(empty sum)으로 0이 되며, 이 계산기도 0을 반환합니다.
양쪽 끝값을 모두 포함하나요? 네. 시그마 표기법은 a와 b를 모두 포함합니다. 따라서 \(\sum_{i=2}^{4}\)는 i=2, 3, 4를 더합니다.
