ما هي حاسبة المجموع؟
حاسبة المجموع أداة تُقيِّم العبارات المكتوبة بـصيغة سيغما، وهي الاختصار الرياضي المُحكَم لجمع متتالية من الحدود. يُخبرك الرمز Σ (حرف السين الكبير في الأبجدية اليونانية) بأن تجمع قيمة الدالة \(f(i)\) لكل عدد صحيح \(i\) بدءًا من الحد الأدنى a وانتهاءً بالحد الأعلى b، شاملًا الطرفين. تتعامل هذه الأداة مع عدد من أكثر الدوال شيوعًا: \(f(i) = i\)، و \(i^{2}\)، و \(i^{3}\)، و \(\frac{1}{i}\) (المتسلسلة التوافقية)، إضافة إلى الثابت \(1\).
كيفية الاستخدام
اختر الدالة \(f(i)\) التي ترغب في جمعها، ثم أدخل الحد الأدنى (\(a\)) والحد الأعلى (\(b\)). تمرّ الحاسبة عبر القيم من \(i = a\) إلى \(i = b\)، وتُقيّم \(f(i)\) عند كل خطوة، ثم تجمع النتائج معًا. كما تعرض لك عدد الحدود التي جُمعت حتى تتأكد من صحة المجال الذي حددته.
شرح القانون
تتوسّع صيغة سيغما على النحو التالي:
$$\sum_{i=\text{a}}^{\text{b}} f(i) = f(a) + f(a+1) + \dots + f(b)$$فمثلًا، \(\sum_{i=1}^{4} i\) تعني \(1 + 2 + 3 + 4\). وللكثير من المجاميع صيغ مغلقة أنيقة — فمجموع أول \(n\) من الأعداد الصحيحة الموجبة هو \(\frac{n(n+1)}{2}\)، ومجموع المربعات هو \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) — لكن هذه الحاسبة تعمل على أي مجال من الأعداد الصحيحة، بما في ذلك القيم الابتدائية السالبة.
مثال محلول
لنفترض أنك تريد حساب \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\). نُقيّم كل حد على حدة:
$$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$وتؤكد الصيغة المغلقة النتيجة:
$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$وعدد الحدود في هذا المجموع هو 5 حدود.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني الرمز \(i\) في صيغة سيغما؟ إنه دليل الجمع — عدّاد يتزايد بمقدار \(1\) من الحد الأدنى إلى الحد الأعلى.
هل يمكن أن يكون الحد الأدنى أكبر من الحد الأعلى؟ وفقًا للاصطلاح، يساوي المجموع الفارغ (عندما يكون \(a > b\)) صفرًا، وهذا ما تُعيده هذه الحاسبة.
هل يشمل المجموع الطرفين معًا؟ نعم. صيغة سيغما تشمل كلًا من \(a\) و \(b\)، فالمجموع \(\sum_{i=2}^{4}\) يجمع القيم \(i=2\) و3 و4.
